Prueba de razón y prueba de raíz

$$\lim_{n\to\infty}(\log a_{n+1}-\log a_n)=\log L\implies\lim_{n\to\infty}\frac{\log a_n}{n}=\log L$$ por el teorema de Stolz–Cesàro (explicando el comentario de @lhf).

Como se menciona en los comentarios:

si$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\ell$, entonces$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_{n}}=\ell$(para una secuencia$b_n>0$).

En particular, si ambos límites existen, tienen que ser iguales, por lo que el contraejemplo que está considerando el OP no existe.

Prueba: Deja$\epsilon>0$. Entonces existe$N>0$tal que, para cualquier$n\geqslant N$, tenemos

$$\ell-\frac{\epsilon}{2}<\frac{b_{n+1}}{b_n}<\ell+\frac{\epsilon}{2}$$

entonces$b_n\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)<b_{n+1}<b_n\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)$. Por inducción, tenemos

$$b_N\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}<b_{n}<b_N\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}$$

entonces

$$\sqrt[n]{b_N\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}<\sqrt[n]{b_{n}}<\sqrt[n]{b_N\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}$$

Pero$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b_N\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}=\ell-\frac{\epsilon}{2}$y$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b_N\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}=\ell+\frac{\epsilon}{2}$. Esto significa que para$n$lo suficientemente grande, tenemos$\ell-{\epsilon} <\sqrt[n]{b_n}<\ell+\epsilon$, eso es$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\ell$.$\square$

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Aquí hay un ejemplo que muestra que la prueba de la raíz es estrictamente más fuerte que la prueba de la razón, es decir, hay situaciones en las que podemos concluir con la prueba de la raíz pero no con la prueba de la razón:

Considerar$a_n=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{3^n}, & n \textrm{ even} \\ \frac{4}{3^n}, & n \textrm{ odd} \end{array} \right.$, entonces$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{4}{3}, & n \textrm{ even} \\ \frac{1}{12}, & n \textrm{ odd} \end{array} \right.$. Por lo tanto,$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$no existe y la prueba de la razón no es concluyente.

Por otro lado, tenemos$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{3}<1$, entonces$\sum_n a_n$es convergente por la prueba de la raíz.

Otro de mis ejemplos favoritos es$a_n=d_nx^n$dónde$d_n$es el número de factores de$n$(para$n\ge 1$). el limite de$\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$no existe, pero el límite de$\sqrt[n]{|a_n|}$es$|x|$, entonces la serie de potencias$\sum_{n=1}^\infty d_nx^n$converge si y solo si$|x|<1$.