Determine si esta serie converge o no.

Question

Determine si esta serie converge o no.

Matemáticas
análisis real
secuencias y series
convergencia divergencia

RK

Necesito determinar si la siguiente serie converge:

\sum_{norte = 1}^{\infty} pecado broncearse \frac{1}{norte}

$\sum_{n=1}^{\infty}\sin{\tan{\frac{1}{n}}}$ veo que

\sum_{n = 1}^{\infty} \tan \frac{1}{n}

$\sum_{n=1}^{\infty}\tan{\frac{1}{n}}$ obviamente diverge, también lo hace

\sum_{n = 1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}

$\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$ pero todavía no puedo entender cómo usar la prueba de comparación para la serie anterior.

zhw.

\sin x > x / 2

$\sin x > x/2$ para pequeños positivos

x .

$x.$

Respuestas (4)

Determine si esta serie converge o no.

dispensador · Answer 1

Tenemos

pecado y \geq \frac{2}{π} y

$\sin y\geq \frac{2}{\pi}y$ para

0 \leq y \leq π / 2

$0\leq y\leq \pi/2$ (por concavidad) y

broncearse X \geq X

$\tan x\geq x$ para

0 \leq x < π / 2

$0\leq x< \pi/2$ . Combinando estos, obtenemos

pecado broncearse X \geq \frac{2}{π} X

$\sin\tan x\geq \frac{2}{\pi} x$ para

0 \leq x \leq \arctan (π / 2) ≃ 1.00388

$0\leq x\leq \arctan(\pi/2)\simeq 1.00388$ . En particular,

$pecado broncearse \frac{1}{norte} \geq \frac{2}{norte π} para todos norte \geq 1$ $\sin \tan\frac{1}{n}\geq\frac{2}{n\pi}\quad\text{for all }n\geq 1$

y por lo tanto la serie diverge por la prueba de comparación

fernando revilla · Answer 2

Usando $\sin \epsilon \sim \epsilon$ hormiga $\tan \epsilon \sim \epsilon$ como $\epsilon\to 0$ y la prueba de comparación del cociente:

\underset{norte \to + \infty}{límite} \frac{pecado broncearse \frac{1}{norte}}{\frac{1}{norte}} = \underset{norte \to + \infty}{límite} \frac{broncearse \frac{1}{norte}}{\frac{1}{norte}} = \underset{norte \to + \infty}{límite} \frac{\frac{1}{norte}}{\frac{1}{norte}} = 1 \neq 0

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sin{\tan{\dfrac{1}{n}}}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{{\tan{\dfrac{1}{n}}}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=1\ne 0$

\Rightarrow \sum_{norte = 1}^{\infty} pecado broncearse \frac{1}{norte} \sim \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte} (divergente).

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\tan{\dfrac{1}{n}}}\sim \sum_{n=1}^{\infty}{{\dfrac{1}{n}}}\text{ (divergent).}$

Bernardo · Answer 3

Como esta es una serie con términos positivos, puedes usar la equivalencia : $\sin u\sim_0 u$ , entonces la serie $\sin\tan\dfrac1n\sim_\infty\tan \dfrac1n$ , y series equivalentes con términos positivos ambos convergen o ambos divergen.

¿Por qué deberíamos usar sin(x) -> x. Quiero decir, como n tiende a infinito, es obvio que x tiende a 0 y, por lo tanto, podemos usarlo. Pero no sería bueno para los términos anteriores cuando n es pequeño. Tengo esta dificultad para obtener el hecho de que cuando el término n converge a algo, la serie converge. Porque creo que los términos anteriores también deberían afectar. Espero haber explicado bien mi duda. Ha sido una confusión durante semanas.
no dije $\sin x$ tiende a $x$ – lo cual no tiene sentido. Dije que era equivalente cerca $0$ , que tiene un significado muy preciso en el análisis asintótico . Esto permite utilizar el criterio de convergencia/divergencia para series equivalentes.

Nosrati · Answer 4

la unción $f(x)=\sin{\tan{\dfrac{1}{x}}}$ es continua, positiva y decreciente en $[1,\infty)$ , con prueba integral tenemos

\sum_{norte = 1}^{\infty} pecado broncearse \frac{1}{norte} = \int_{1}^{\infty} pecado broncearse \frac{1}{X} d X = \int_{1}^{0} pecado broncearse tu \frac{- 1}{{tu}^{2}} d X = \int_{0}^{1} \frac{pecado broncearse tu}{{tu}^{2}} d X \geq \int_{0}^{1} \frac{1}{2 tu} d X = \infty

$\sum_{n=1}^{\infty}\sin{\tan{\frac{1}{n}}}=\int_1^\infty\sin{\tan{\frac{1}{x}}}dx=\int_1^0\sin{\tan{u}}\frac{-1}{u^2}dx=\int_0^1\frac{\sin{\tan{u}}}{u^2}dx\geq\int_0^1\frac{1}{2u}dx=\infty$

Determine si esta serie converge o no.

RK

zhw.

Respuestas (4)

dispensador

fernando revilla

Bernardo

Shashank

Bernardo

Shashank

Nosrati

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia de una serie infinita particular

Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

Determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

Combinación alterna de una serie convergente y divergente

¿Verifiqué correctamente la convergencia de esta serie?

Prueba de razón y prueba de raíz

Cuestión de evaluación de un límite de una sucesión.

Determine si la serie converge absoluta, condicionalmente o diverge.