¿Es posible una descripción matemática completa de la realidad?

Definitivamente hay estados de sistemas (como la mente) que no son cuantificables. Para que las matemáticas funcionen en principio, necesitamos estados que sean cuantificables o medibles. Entonces, ¿esto demuestra que no es posible una descripción completa de la realidad en términos matemáticos?

David Chalmers argumenta que la naturaleza de la conciencia, que es responsable de la experiencia subjetiva, es algo innato al universo. Un ejemplo que cita a menudo es el de Mary, una neurocientífica que lo sabe todo, es decir, saber físicamente, sobre el color rojo, pero aún así no reconocerá el color rojo cuando lo experimente por primera vez.

Además, Wittgenstein en Tractatus sostiene que

Una imagen lógica de los hechos es un pensamiento.
Un pensamiento es una proposición con un sentido.

Pero en general se está de acuerdo en que esto deja mucho de lo que se puede decir que no tiene sentido en Wittgenstein. Como él mismo reconoce en su última proposición

De lo que no se puede hablar, hay que callar.

Entonces, si hay estados del mundo que no pueden expresarse apropiadamente ni siquiera en lenguaje, ¿cómo pueden las matemáticas describir tales estados?

Entonces, otra pregunta es si la realidad es lógica.

Deje un comentario sobre por qué cree que esta es una pregunta inapropiada. Hace tiempo que tengo esta pregunta: ¿hasta qué punto las matemáticas pueden describir la realidad?
¿Quién sabe? Y por qué afirmar que "hay estados del mundo que no pueden expresarse adecuadamente ni siquiera en el lenguaje". Si no podemos describirlos con lenguaje, ¿qué/dónde están? Y las matemáticas son lenguaje.
Por lengua entiendo aquí la lengua del discurso común. Sí, las matemáticas son un idioma, pero no son tan flexibles como, por ejemplo, el inglés. Entonces, creo que podría haber proposiciones que se pueden expresar y entender en inglés pero no en matemáticas, por ejemplo, digamos, el café está 'muy' caliente. Sí, entiendo que es una pregunta que nadie tiene una comprensión perfecta, pero eso no significa que algunas personas realmente se comprometan con ella. Entonces, mi propósito al preguntar esto es que alguien señale el estado actual de la investigación/pensamiento sobre esto.
Además, sabemos que los físicos casualmente hablan de una teoría del todo. ¿No sería útil si alguien puede aclarar qué quieren decir los físicos con todo? Cualquiera después de tal teoría seguramente tendrá que entender lo que su teoría responderá o no. Entonces, eso también supone responder esta pregunta a priori.
Hay muchos objetos en matemáticas que no se pueden expresar en inglés o en matemáticas. Por ejemplo, casi todos los números reales. La razón es simple: el conjunto de oraciones en inglés o fórmulas matemáticas es contable. El conjunto de números reales es más grande que eso: incontable. Entonces, la gran mayoría de los números reales no pueden ser nombrados por una fórmula o una oración en inglés.
@causitivo. "Entonces, la gran mayoría de los números reales no pueden ser nombrados por... una oración en inglés". Pero acabas de hacer precisamente eso. No estoy tratando de ser inteligente aquí, creo que hubo un colega de Russell que señaló que muchas cosas incoherentes en las notaciones matemáticas se pueden describir en oraciones perfectamente coherentes,
@NelsonAlexander Podemos nombrar estos números innombrables como un conjunto, ya sea en inglés o en matemáticas, lo cual, como dices, acabo de hacer arriba. Lo que no podemos hacer es nombrar a ninguno de ellos o producir una fórmula para uno de ellos.
Hay sistemas que aún no son cuantificables . Y entendiste mal a Wittgenstein. No está diciendo que hay "estados del mundo" que no pueden expresarse apropiadamente en el lenguaje, está diciendo que deberíamos dejar de tergiversar el lenguaje para "expresar" lo que no está ahí, y producir sin sentido como resultado. Para él, preguntar si la realidad es lógica sería un ejemplo de esto último: la lógica no se aplica a la realidad, solo al lenguaje. El jurado está deliberando sobre si existe una "teoría del todo" matemática, y se espera que las preguntas en este sitio sean específicas y respondibles.
@Conifold 'la lógica no se aplica a la realidad' y 'la lógica se aplica al lenguaje': ¿no significan ambas declaraciones juntas, al menos para Wittgenstein, que la naturaleza de la realidad no puede describirse adecuadamente mediante el lenguaje?
@SwamiVishwananda esta pregunta responde parte de la pregunta, pero creo que la pregunta aquí es más amplia y puede generar otras respuestas/líneas de pensamiento.
Por el contrario, la lógica es lo que permite que suceda la descripción, al menos en su lenguaje ideal para el que el Tractatus pretende ser una escalera. La lógica es un conjunto de reglas de ensamblaje para construir "imágenes" verbales de la realidad, una extensión de la gramática que bloquea el galimatías disfrazado. Tienes que seguir reglas para resolver un rompecabezas ensamblado, pero no te dicen nada sobre el contenido del rompecabezas ensamblado. El hecho de que tenga que seguir las reglas para usar su herramienta correctamente no significa que tengan algo que ver con lo que se usa.
@Conifold, según tengo entendido, está presentando una versión del argumento de que 'la suma es más/diferente que sus partes' en el sentido de que la realidad podría ser diferente a la suma total de toda la lógica y los constituyentes utilizados para describirla.
Solo estoy conjeturando a Wittgenstein, y no, esa no es su tesis. Si el todo es o no más que la suma de sus partes es irrelevante aquí. La lógica no es un constituyente o parte de ninguna suma total que describa la realidad, es solo una herramienta de descripción, una ayuda de representación, como el alfabeto y los lápices.
"Definitivamente hay estados de sistemas (como la mente) que no son cuantificables". ¿Dice quién? ¿Puede nombrar a un solo ganador del Premio Nobel de Física que tenga este punto de vista?
(En realidad, conozco a un físico serio que sostiene este punto de vista, pero incluso él admite que contradice casi todo lo demás en lo que cree, y ciertamente no se basa en ninguna teoría física, solo en un argumento filosófico que encuentro bastante inestable .)

Respuestas (4)

La completitud en matemáticas tiene un significado específico . Los teoremas de incompletitud de Godel demostraron que esto no es posible, para las matemáticas en su conjunto, y terminaron con la mayoría de las partes restantes del Programa Hilbert, incluido el objetivo de axiomatizar la física.

Stephen Hawking lidió con las consecuencias para la física aquí, y la naturaleza de lo que sería una Teoría del Todo: Godel y el fin de la física .

Los teoremas de Gödel son antifundacionalistas: no es posible un 'vocabulario final'. Esto se debe a que las mentes, que crean y usan el lenguaje, son bucles extraños, con jerarquías enredadas, que incluyen autorreferencias y bucles de retroalimentación. Para que una mente comprenda el mundo, también debe comprenderse a sí misma, lo que se complica a sí mismo, requiere más comprensión, una tarea que nunca puede completarse. Las mentes son dinámicas, creativas y existen como interacciones, incluso a través de la intersubjetividad. La mejor comprensión posible también debe ser dinámica, interactiva, viva.

Como una objeción menor con la apertura, la completitud en matemáticas tiene múltiples significados específicos, y el propio Gödel también demostró que, en un sentido diferente , ¡el marco lógico estándar para las matemáticas es completo! Ver aquí _
Como una objeción más seria, todo lo que descarta el teorema de incompletitud de Gödel es una teoría completamente consistente computable axiomatizable que satisface una cierta condición técnica de "fortaleza". Así que hay una buena cantidad de matices aquí: una teoría completa es posible, solo tiene que ser bastante complicada.
@CriglCragl aquí, ¿estás asumiendo que existe una correspondencia uno a uno entre las matemáticas y la realidad? Porque, según tengo entendido, incluso Hawkings está diciendo que el teorema de Gödel es para las matemáticas lo que la teoría M es para la física. Solo está insinuando que, como el teorema de Gödel se aplica a las matemáticas, podría haber una teoría en Física que esté incompleta, pero que no es una conclusión inevitable porque todavía estamos bastante lejos de una teoría física que describa todos los fenómenos que hemos catalogado...
... Entonces, en principio, creo que hay margen para leyes que se aplican a todo el mundo físico, como la segunda ley de la termodinámica, que da como resultado objetos exóticos cada vez más nuevos con una física muy diferente que emergen de componentes más básicos.
@prateek: Pero no hay un conjunto completo de leyes para comprender la evolución del universo. No hay axioma o axiomas de los que se pueda derivar todo. En matemáticas, o física.
@CriglCragl: una versión del teorema de Godel podría decir que ningún conjunto de leyes puede decirnos si una computadora física arbitraria alguna vez se detendrá o no (y podría tener implicaciones para otros tipos de procesos físicos que potencialmente pueden continuar para siempre pero también potencialmente parada dependiendo de las condiciones iniciales). Pero el teorema de Gödel no da ninguna razón para pensar que no podríamos encontrar las leyes exactas que determinan en qué estado estará un sistema arbitrario en el tiempo T1 dado el conocimiento suficiente de su estado en el tiempo T0, donde T1-T0 es un intervalo de tiempo finito.
Es completamente posible tener un conjunto completo de leyes para la evolución del universo. El universo es un tema más restringido que todas las matemáticas, por lo que el teorema de incompletitud de Gödel no se aplica. Las leyes del juego de la vida de Conway se pueden escribir fácilmente y describen completamente cómo cambia el estado de la cuadrícula con el tiempo. El universo no es tan simple, pero no es imposible que pueda tener un conjunto similar de leyes.
@causative: Stephen Hawking pensó lo contrario, como lo vinculé. ¿Se perdió algo? ¿Entiendes mejor la física?
En su enlace, Hawking usa el teorema de incompletitud de Gödel como una analogía en apoyo parcial de su idea. Él no lo usa deductivamente para probar nada acerca de la física. por ejemplo, "Pero entonces nuestra experiencia con la supergravedad y la teoría de cuerdas, y la analogía del teorema de Gödel, sugieren que incluso esta formulación será incompleta". Lo importante a reconocer es que, aunque la conjetura de Hawking puede ser correcta y no es posible una axiomatización finita de la física, si es correcta o incorrecta depende de las leyes reales de la física. El juego de la vida de Conway es un universo en el que está mal.

Para poder responder "sí" se requeriría una definición completa de "realidad". Cuanto más aprendemos sobre nuestro universo... nuestra realidad... más nos damos cuenta de lo mucho que no sabemos. A falta de esa definición completa, esta pregunta no tiene respuesta.

Una pregunta que posiblemente valga la pena hacer es "¿Será suficiente nuestra comprensión de las matemáticas para describir completamente alguna noción nuestra de lo que podría ser la realidad?". A esa pregunta, mirando solo lo que se ha dicho en las respuestas a esta pregunta, diría... no es probable.

Depende de las leyes de la física.

Primero, tenga en cuenta que hay muchos objetos en matemáticas que no se pueden expresar en matemáticas. Por ejemplo, solo una pequeña fracción de los números reales son nombrados por alguna fórmula matemática. La razón es simple: el conjunto de fórmulas matemáticas es contable. El conjunto de números reales es más grande que eso: incontable. Entonces, la gran mayoría de los números reales no pueden ser nombrados por una fórmula.

Sin embargo, es posible describir ciertas leyes que rigen todos los números reales, aunque la mayoría de ellos no se pueden nombrar individualmente mediante una fórmula.

Ahora, aquí hay algunas posibilidades para las leyes de la física, junto con las consecuencias de cada posibilidad sobre qué tan bien las matemáticas pueden describir las leyes de la física. Cada posibilidad puede caer en una de las siguientes categorías: computable, computable en el límite (aproximable), no computable pero describible, no computable o descriptible.

  1. Puede ser que, fundamentalmente, el espacio y el tiempo sean discretos. Más que eso, puede ser que la regla de evolución que deriva el próximo estado del universo del anterior, sea computable. Si esto es cierto, entonces las matemáticas no solo pueden describir todo en el universo: con suficiente información, una máquina de Turing podría predecirlo perfectamente. (categoría = computable)

  2. Puede ser que, fundamentalmente, el espacio y el tiempo sean discretos, pero la regla de evolución no es computable. En este caso, no importa cuánta información recopilemos, ninguna computadora podrá predecir perfectamente lo que harán las leyes de la física. Sin embargo, aún puede ser posible especificar cuáles son las leyes de la física en abstracto, aunque no podamos calcularlas. (categoría = computable en el límite, o categoría = no computable pero describible)

  3. Puede ser que, fundamentalmente, el espacio y el tiempo sean continuos, pero las leyes de la física pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales que podemos escribir. Por ejemplo, el movimiento de un péndulo es continuo pero se describe mediante un conjunto simple de ecuaciones diferenciales. Si este es el caso, las matemáticas pueden describir las leyes del universo. Dependiendo de las leyes específicas, puede o no ser posible aproximar progresivamente el resultado de un proceso físico tanto como deseemos. (categoría = computable en el límite, o categoría = no computable pero describible)

  4. Puede ser que, fundamentalmente, el espacio y el tiempo sean continuos, y las leyes de la física no se puedan describir en matemáticas. Esto es concebible porque el conjunto de todas las posibles leyes de la física es muy grande, al menos tan grande como los números reales, porque una ley de la física puede incluir un número real como parámetro. Y el conjunto de todas las posibles leyes de la física que pueden nombrarse mediante una fórmula matemática es mucho más pequeño: contable. En este caso, ningún cálculo matemático puede aproximarse perfectamente o incluso describir lo que sucede en el universo. (categoría = no computable o descriptible).

Las cuatro posibilidades son lógicamente posibles. En última instancia, la filosofía no puede decir si el universo puede describirse mediante las matemáticas; eso depende de los físicos. Es concebible que los físicos puedan encontrar una Teoría del Todo que describa perfectamente el universo. También es concebible que las leyes del universo no sean fundamentalmente descriptibles por fórmulas matemáticas. Depende de los físicos averiguarlo.

El término "realidad" es demasiado general para darle mucho sentido a esto. Pero creo que la respuesta es claramente ¡ Nein ! Cualquier descripción matemática de la "realidad" sería parte de esa realidad y, por lo tanto, debe describirse a sí misma, lo que lleva a las paradojas de la autorreferencia en la teoría de conjuntos y a una regresión infinita al estilo de Droste.

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Imagine (contrafactualmente) que las leyes de la realidad fueran el juego de la vida de Conway. El juego de la vida de Conway es Turing-completo. Es posible, por lo tanto, que un patrón en el juego de la vida de Conway emule una máquina de Turing que a su vez está ejecutando el juego de la vida de Conway; no hay problema con la autodescripción en este sentido. Tangencialmente, consulte el concepto de quine: en.wikipedia.org/wiki/Quine_%28computing%29 . Hay muchas formas legítimas para que los sistemas se describan a sí mismos sin paradojas ni contradicciones. Solo algunas formas son problemáticas.
En caso de que no haya quedado claro, una máquina de Turing emulada dentro del juego de la vida de Conway, que a su vez simula el juego de la vida de Conway, es una metáfora exacta de una computadora dentro de nuestro universo que a su vez está simulando nuestro universo. Obviamente, esta máquina de Turing no puede simular toda la cuadrícula en la que se asienta, pero no hay problema con que la máquina de Turing simule un patrón más pequeño que ella misma, que es lo que hacen las simulaciones por computadora.
Interesante. No sé lo suficiente de matemáticas, pero las autorreplicaciones matemáticas siempre me parecieron sospechosas, especialmente en el contexto supuestamente físico, friccional y termodinámico de "toda la realidad". ¿Y no fue la propia máquina de Turing originalmente una demostración de incompletitud? Simplemente me quedo atascado en cualquier idea significativa de una "autodescripción completa".
¿Es posible una descripción matemática completa de la realidad?
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