Estaba repasando esta vieja pregunta sobre un jugador rico: Jugador con fondos infinitos que alcanzan su objetivo . La respuesta se basa en las siguientes identidades de Concrete Mathematics de Graham, Knuth y Patashnik (números de ecuación tal como aparecen en el libro).
La expresión en el extremo derecho de (5.70) es particularmente interesante ya que es el tiempo de parada de un jugador adinerado apuntando . También es fascinante ya que parece simplemente marchar hacia la suma infinita y reemplazar , de alguna manera ocupándose de todos los términos cruzados en el proceso.
Leí el capítulo para ver si podía encontrar una prueba de estas identidades (las cuales verifiqué numéricamente).
Siguiendo mi camino de regreso, encontré la siguiente definición (equivalente) de .
Luego simplemente dicen:
Sin embargo, no se proporciona ninguna prueba para esto. Entonces, todavía me estoy rascando la cabeza preguntándome cómo probar (5.68) y (5.70).
Mis intentos:
Por (5.70), podemos decir que para que el jugador alcance $ , primero tiene que llegar $ y luego repetir esa hazaña veces. Esto proporciona un bosquejo aproximado, pero todavía estoy fascinado por los detalles mecánicos (y (5.60) no tiene tal interpretación en términos de jugadores).
Para (5.68), probé algunos de los enfoques en las respuestas a esta pregunta .
Primero, Mathematica no pudo encontrar una buena expresión para la suma parcial. Entonces, el enfoque de @robojohn probablemente no funcionará porque si hubiera una función cuya diferencia compusiera los términos de , la suma parcial tendría una buena expresión en términos de esa función.
A continuación, probé el enfoque de @Marcus Scheuer y obtuve:
Esto tampoco funciona ya que no obtenemos el condición requerida para el corolario que usó y la término interfiere también.
Primero mostramos (5.68). Usando la expansión de la serie Binomial obtenemos
y sigue la demanda.
La última línea (1) sigue ya que tenemos
... y ahora la generalización (5.70). A continuación usamos el coeficiente del operador para denotar el coeficiente de en una serie
Observamos la función generadora tiene el inverso composicional
desde
La buena representación de la inversa composicional indica que podríamos aplicar la fórmula de inversión de Lagrange que nos da los coeficientes de la -ésima potencia de la función generadora .
Aquí lo usamos de acuerdo con el Teorema 5.4.2 en Enumerative Combinatorics, vol. 2 de RP Stanley.
Teorema: Sea , dónde (y ), y deja . Entonces
Aplicando (3) con obtenemos
Comentario:
En (4) usamos de (2).
En (5) aplicamos el desarrollo en serie binomial .
En (6) usamos la identidad binomial .
En (7) seleccionamos el coeficiente de .
En (8) usamos las identidades binomiales y .
Finalmente obtenemos
y sigue la demanda.
Comentario:
En (9) usamos la identidad (5.68) resp. (1).
En (10) desplazamos el índice por uno para tener una expansión en términos de factor .
En (11) aplicamos (8), la representación gracias a la fórmula de inversión de Lagrange.
En (12) cambiamos el índice para comenzar con .
Tenga en cuenta que (12) también se puede expresar como:
Aquí hay otro enfoque que encontré gracias a /u/whatkindofred en este hilo de reddit para probar (5.68). Este enfoque parte del LHS.
Supongamos:
Es fácil ver eso:
Supóngase además que:
Usando (1.1)
Desde ,
Pero desde ,
Dónde,
Multiplicando ambos lados de (1.3) por obtenemos,
Ahora, abordemos las integrales.
Y entonces,
Y esto significa,
Sustituyendo (1.5) y (1.6) en (1.4) se obtiene:
pero sabemos que y para que la ecuación anterior no explote en Debemos tener dándonos,
y usando obtenemos (usar la regla de L'Hospitales) y sigue la derecha de (5.68).
Otra manera fácil de ver esto es que si sustituimos en (5.68), la expresión se convierte en la probabilidad de que el jugador rico alcance alguna vez $ mientras que (5.67) es la probabilidad de que alguna vez alcance $ (si sigue lanzando una moneda con probabilidad de cabezas y victorias $ en cara y pierde $ en cruz). Alcanzar $ , tiene que aumentar su fortuna en ps veces. Y el resultado sigue.
Rohit Pandey
epi163sqrt
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Rohit Pandey
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Rohit Pandey
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