¿Probabilidades de transición de un paso para una cadena de Markov?

Imagine que se intercambian m bolas entre dos cámaras adyacentes (izquierda y derecha) de acuerdo con las siguientes reglas. En cada paso de tiempo, una de las m bolas se selecciona aleatoriamente y se mueve a la cámara opuesta, es decir, si la bola seleccionada está actualmente en la cámara derecha, se moverá a la izquierda y viceversa. Dejar X norte Sea el número de bolas en la cámara izquierda después del n-ésimo intercambio. Para m=3 quiero encontrar todas las probabilidades de transición de un paso. Sé que el espacio de estado será {0,1,2,3} y que estoy buscando Probabilidades, cuando va de 0->1, 1->0, 2->1, 1->2, 3- >2, 2->3. Estoy luchando con la forma de explicar el hecho de que las bolas pueden tener diferentes posiciones iniciales. Por ejemplo, al pasar de 1->0, puede elegir la bola de la cámara izquierda y moverla, o elegir una de las dos bolas de la cámara derecha y moverla hacia la izquierda para que sea una transición de 1->2, por lo que ¿Cuál sería la probabilidad de algo así?

"uno de los metro bolas se selecciona al azar" ... "ir de 1-> 0" solo se puede hacer de la siguiente manera: selecciona la bola en el cuadro de la izquierda. Si toma una bola del cuadro de la derecha, entonces va de 1-> 2 .

Respuestas (1)

{ 0 , 1 , 2 , 3 } es el conjunto de estados, es decir, el conjunto de los posibles números de bolas en la cámara izquierda. Suponga que el sistema está en estado i ( i = 0 , 1 , 2 , 3 ). La probabilidad de que el sistema pase al estado i − 1 es i 3 porque esta es la probabilidad de que uno seleccione una bola del cuadro de la izquierda. La probabilidad de que el sistema pase al estado i + 1 es 3 − i 3 porque esta es la probabilidad de que uno seleccione una bola del cuadro de la derecha.

Por ejemplo, si el sistema está en estado 1 entonces solo hay dos transiciones posibles, como se muestra a continuación

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El sistema puede pasar al estado 2 (con probabilidad 2 3 ) o declarar 0 (con probabilidad 1 3 ).

La matriz de probabilidad de transición de estado es entonces

PAG = [ 0 1 0 0 1 3 0 2 3 0 0 2 3 0 1 3 0 0 1 0 ] .

(Aquí las filas se asignan al estado actual y las columnas al estado siguiente).

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