Demostrando que un tiempo de parada es finito para una caminata aleatoria sesgada.

Si consideramos X i iid con PAG ( X i = 1 ) = pag y PAG ( X i = − 1 ) = 1 − pag . Dónde pag ∈ ( 1 / 2 , 1 ) . La caminata aleatoria viene dada por,

S norte = ∑ i = 1 norte X i .

También definimos el tiempo de parada τ = inf { k : S k ∈ { − α , β } } con α , β > 0 en los números naturales. como probar eso PAG ( τ < ∞ ) = 1 ? Intuitivamente está claro que seguro en algún momento S norte golpeará β (porque la caminata aleatoria tiene una tendencia a moverse hacia arriba). Estaba pensando en mostrar eso PAG ( S norte = ∞  yo ) = 1 . Pero no estoy muy seguro de cómo hacer un argumento riguroso. ¿Podría alguien ayudarme con esto?

Respuestas (2)

Considerar τ β := inf { norte > 0 : S norte = β } . Construimos la martingala S norte − norte ( 2 pag − 1 ) que es st

mi [ S norte − norte ( 2 pag − 1 ) | F k ] = S k − k ( 2 pag − 1 )
Ahora por parada opcional
mi [ S τ β ∧ norte − ( τ β ∧ norte ) ( 2 pag − 1 ) ] = 0
y por convergencia monótona
mi [ τ β ] = 1 2 pag − 1 límite norte → ∞ mi [ S τ β ∧ norte ] ≤ β 2 pag − 1
Entonces
PAG ( τ β ≥ k ) ≤ 1 k mi [ τ β ] ≤ β k ( 2 pag − 1 ) → 0 ⟹ PAG ( τ β = ∞ ) = 0
y entonces PAG ( τ = ∞ ) = 0 .

Una muy buena respuesta, gracias snoop!

Por la ley de los grandes números, 1 norte S norte → 2 pag − 1 > 0 como En particular, S norte → ∞ como, y porque los pasos son ± 1 alcanzará cualquier ordenada β ∈ norte (al partir de 0 ).

¡Gracias por la respuesta! Una pequeña pregunta, ¿cómo puedes concluir directamente que a partir de 1 norte S norte → 2 pag − 1 , S norte → ∞ .
Como para norte lo suficientemente grande, 1 norte S norte ≥ 1 2 ( 2 pag − 1 ) , entonces S norte ≥ 1 2 ( 2 pag − 1 ) norte donde el lado derecho tiende a ∞ .
Demostrando que un tiempo de parada es finito para una caminata aleatoria sesgada.
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