Prueba inductiva fuerte para la desigualdad usando la secuencia de Fibonacci

estoy tratando de demostrar que$F_n \geq 4 * F_{(n - 3)}$usando la secuencia de Fibonacci, creo que la prueba requiere una fuerte inducción, pero no estoy seguro de cómo aplicarla.

Mi trabajo hasta ahora:

Defina los números de Fibonacci por:

$$\begin{align*} F_0 &= 0 \\ F_1 &= 1 \\ F_n &= F_{(n-1)} + F_{(n-2)} \forall n \geq 2 \end{align*}$$

1. Demostrar por inducción que$F_n \geq 4 * F_{(n - 3)}$

   Caso base:$n = 5$

   $$\begin{align*} F_5 &\geq 4 * F_{(5 - 3)} \\ F_5 &\geq 4 * F_{(2)} \\ F_5 &\geq 4 * 1 \\ 5 &\geq 4 \end{align*}$$

   Supongamos que es cierto para algunos$n = k$

   $$\begin{equation} F_k \geq 4 * F_{(k - 3)} \end{equation}$$ Paso inductivo: Considere el caso$n = k + 1$
   $$\begin{align*} F_{(k + 1)} &\geq 4 * F_{(k + 1 - 3)} \\ F_{(k + 1)} &\geq 4 * F_{(k - 2)} \end{align*}$$

El$F_{(k - 2)}$me hace pensar en la definición de Fibonacci y que debería ser posible si uso$n = 5, 6$en el caso base. Sin embargo, no estoy seguro de cuál debería ser el siguiente paso, así que puedo ir más allá.

EDITAR:

Así que gracias a Mohammad Riazi-Kermani pude ir más allá. Dado que la secuencia de Fibonacci se define como una relación de recurrencia, puedo usar los términos anteriores para manipular la expresión. es decir

$$\begin{align*} F_0 &= 0 \\ F_1 &= 1 \\ F_2 &= F_1 + F_0 \\ F_3 &= F_2 + F_1 \\ F_4 &= F_3 + F_2 \\ \text etc. \end{align*}$$

Así que siguiendo el patrón

$$\begin{align*}\\ F_n &= F_{(n-1)} + F_{(n-2)}\\ F_{(n-1)} &= F_{((n-1)-1)} + F_{((n-1)-2)}\\ &= F_{(n-2)} + F_{(n-3)}\\ F_{(n-2)} &= F_{((n-2)-1)} + F_{((n-2)-2)}\\ &= F_{(n-3)} + F_{(n-4)}\\ F_n &= F_{(n-2)} + F_{(n-3)} + F_{(n-3)} + F_{(n-4)} \end{align*}$$

Ahora tengo$F_n = 3*F_{(n-3)} + 2*F_{(n-4)}$lo que me permite llegar a la pista señalada por Theo Bendit.

$$\begin{align*} 3*F_{(n-3)} + 2*F_{(n-4)} &\geq 4*F_{(n-3)}\\ 2*F_{(n-4)} &\geq F_{(n-3)} \end{align*}$$

Pero, ¿qué significa esto ya que no tuve que hacer el paso inductivo?

EDITAR 2:

Parece que estoy confundiendo la hipótesis inductiva (asumiendo$P(k)$) con$P(k + 1)$.

Tan cierto para todos$n \geq 5$por principio de inducción matemática. QED