¿Cuándo usar y no usar la Ley de Gauss?

Las otras respuestas son correctas. En caso de que no lo veas muy claro, aquí está mi intento. Hay pocas ideas.

1.- El flujo de un campo a través de una superficie se define como

$\iint \vec{E}\cdot d\vec{S}$, con$d\vec{S}=\hat{n} dS$

2.- La Ley de Gauss dice que

$\iint \vec{E}\cdot d\vec{S}= \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$

Entonces, la idea es que la ley de Gauss no habla del campo eléctrico, sino del flujo del mismo a través de una superficie cerrada . Esa es la idea clave. Por alguna razón, parece que no se destaca lo suficiente para los nuevos estudiantes, pero es simple.

Entonces, por ejemplo, en tu primera foto... si tomas la azul, no hay carga adentro. ¿Significa eso que no hay campo eléctrico? ¡NO! Simplemente significa que el flujo es 0. Por supuesto, porque hay tantas líneas de flujo que entran y salen. Cada línea que surge de las cargas que ingresa al círculo azul debe pasar nuevamente por el círculo (en el otro lado), porque no hay sumideros dentro del círculo azul.

Entonces, ¿por qué funciona el círculo rojo?

La última idea es que, si desea obtener el campo eléctrico, debe encontrar una manera de tomar$\vec {E}$fuera de la integral. Para ello, hay que elegir la superficie adecuada. En otras palabras, la ley de Gauss SIEMPRE es cierta, pero solo sirve para obtener el campo eléctrico en casos muy particulares. Tienes que ser lo suficientemente inteligente como para elegir el correcto. Llaves:

1. Encuentre una superficie en la que el ángulo entre$\vec{E}$y lo normal$\hat{n}$es constante, y preferiblemente 0. Eso le permite cambiar$\vec{E}\cdot d\vec{S}$para$E\ dS \cos \theta$.
2. Ahora, la superficie debe ser tal que$E$es constante a lo largo de la superficie. Sólo a lo largo de la superficie. SI es así, puedes tomar$E$fuera de la integral, y así

$E \cos \theta \cdot \iint dS = Q/\varepsilon_0$

$\Rightarrow \quad E \cos \theta = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}$

Y esto es sólo un caso particular.

La ley de Gauss es un enunciado sobre el flujo neto de$\vec E$y no te permite inferir$\vec E$excepto en circunstancias especiales. Una de esas situaciones es cuando el flujo es uniforme en la superficie gaussiana. En este caso

En el caso de su esfera azul, el flujo NO es constante en la superficie, por lo que no puede concluir que$\vec E=0$utilizando la información del flujo de$\vec E$a través de esta superficie. Es (intuitivamente) claro que la parte de la esfera que está cerca del eje y más cerca de la fuente de carga tendrá un flujo mayor (y negativo) que la parte que está cerca del eje pero en el lado más alejado de la esfera. Por supuesto, el flujo neto es$0$, pero porque$\vec E$no es constante en la superficie de tu esfera azul no puedes escribir$\oint \vec E\cdot d\vec S=\vert \vec E\vert 4\pi R^2$en (2) y por lo tanto no puede deducir del flujo el valor del campo.

El mismo tipo de análisis se aplica a su segundo ejemplo. el flujo de$\vec E$no es constante en esa esfera, por lo que el conocimiento del flujo no es útil para obtener$\vec E$sobre esa esfera.

Una analogía sería esta. Imagina que te doy la cantidad neta de dinero en tu bolsillo y te digo que todas las monedas tienen el mismo valor. Podrías calcular fácilmente el valor de cualquier conteo. La cantidad neta de dinero es análoga al flujo neto, la condición de que todas las monedas tengan el mismo valor es análoga a$\vert \vec E\vert$constante en la superficie, y el valor de una moneda es el valor de$\vec E$en cualquier lugar. Por supuesto, si las monedas no tienen el mismo valor, no puede (en general) encontrar el valor de una moneda conociendo solo la cantidad total en su bolsillo.

La Ley de Gauss establece que el flujo a través de una superficie del campo eléctrico es igual a la carga contenida dividida por$\epsilon_0$Para su primera pregunta, cuando calcula el campo eléctrico usando la superficie azul, está considerando solo el campo eléctrico producido por lo que está dentro de la superficie azul, por lo que, por supuesto, obtiene 0. Calcular el campo usando la superficie roja le da la respuesta correcta. . Lo que realmente está en juego aquí es el principio de sovraposición. El campo en el punto que te interesa lo puedes tomar como la suma del campo producido por lo que está dentro de la superficie azul con lo que está dentro de la superficie roja, conciliando así los resultados Con respecto a tu segunda pregunta, recuerda que usando la ley de Gauss puedes establezca que el flujo neto a través de la superficie neta es cero, pero no que el campo sea cero en el origen. Ahora, tomando dos superficies que rodean ambas cargas,

La ley de Gauss relaciona la integral de superficie de la componente normal del campo eléctrico con la carga interna. La clave para resolver su 'paradoja' es la simetría.

En el primer ejemplo, tiene razón en que la integral del componente normal del campo eléctrico es cero en la segunda superficie. Pero el hecho de que la integral sea cero no significa que el campo sea cero. Piénselo, la integral es cero solo significa que la suma en diferentes partes de la superficie se cancela entre sí. Para dar un ejemplo unidimensional$\int_0^{2\pi} sin(x)=0$incluso cuando la función es distinta de cero en casi todas partes.

Usar la primera superficie da el resultado correcto porque después de colocar la superficie, la figura resultante es esféricamente simétrica. Por lo tanto, podemos concluir que la magnitud de la componente normal del campo eléctrico será la misma en todos los puntos de la primera superficie. De este modo$E\times 4\pi r^2 = q$. Tenga en cuenta que esto le permite concluir solo sobre el componente normal. Todavía tienes que dar una razón por la cual el componente tangencial es cero.

De hecho, encuentra el flujo magnético total a través de una superficie gaussiana debido a las cargas que están dentro de la superficie.
Entonces, en su primer diagrama, no hay cargas dentro de la superficie gaussiana azul, por lo que encuentra que el flujo total a través de la superficie gaussiana azul es cero y, por simetría, dice que el campo eléctrico debido a esa región encerrada por la superficie gaussiana azul es cero.

Si uso la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en el punto A

Esto no se puede hacer directamente porque la ley de Gauss te informa sobre el flujo eléctrico neto que pasa a través de la superficie gaussiana.

Así que tienes que hacer ejercicio$\displaystyle \int _{\rm S} \vec E \cdot d \vec A$.
Con una superficie gaussiana cuidadosamente elegida, puede decir que el producto escalar siempre es$E\, dA$con$E$una constante que puedes sacar de la integral.
Si miras el diagrama a continuación, notarás que usando la superficie gaussiana azul no puedes hacer esto.

He dibujado la superficie para que sea aproximadamente simétrica, de modo que el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie del lado derecho sea igual al flujo eléctrico que pasa a través de la superficie gaussiana del lado izquierdo.
Entonces, el flujo eléctrico neto a través de la superficie es cero, que es lo que esperaría si la carga neta dentro de la superficie es cero.