¿Por qué el campo eléctrico de una placa infinita es constante en todos los puntos?

Creo que la mejor manera de responder a esta pregunta es hacer matemáticas y física. Desde primeros principios y no algún atajo.

De la ley de Couloub y la definición del campo eléctrico:

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Considere primero un cable infinito de cambio (construiremos la hoja más adelante). Por ahora, asignamos una densidad de carga de todo el cable:$\lambda$. Dónde$\lambda = \frac{dq}{d\ell}$.

La forma diferencial de la ecuación del campo eléctrico se puede dar como (usando la notación de la imagen):

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r^2} \hat{\mathbf{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r^2} d\ell \;\hat{\mathbf{r}}$$

Ahora, a partir de la imagen, debería quedar un poco claro que los componentes del campo eléctrico del cable en el "arriba hacia abajo" ($\hat{\mathbf{y}}$) dirección se cancelan entre sí independientemente del valor de$R$y$\ell$. Por lo tanto, consideremos sólo el campo eléctrico en el$\hat{\mathbf{x}}$dirección.

De la geometría, notamos lo siguiente:

$$r = \sqrt{\ell^2 + R^2} = \frac{R}{\cos \theta}$$ $$d\ell = R d\theta$$ $$\hat{\mathbf{x}} = \cos \theta \; \hat{\mathbf{r}}$$

Por lo tanto:

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda \cos^2 \theta}{R^2} \frac{R}{\cos \theta} d\theta \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \;\hat{\mathbf{x}}$$

Ahora, queremos encontrar el campo eléctrico total de toda la longitud del cable. Por lo tanto, queremos integrar todo el cable. Esto significa que, integrando sobre el ángulo de$\theta$:$-\frac{\pi}{2} \rightarrow \theta \rightarrow \frac{\pi}{2}$. Por lo tanto:

$$\vec{E_x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda}{R} \;\hat{\mathbf{x}}$$

Tenga en cuenta que, para un cable infinito, el campo eléctrico depende de su distancia al cable.

Sin embargo, queremos la hoja. Podemos construir una lámina de carga alineando muchos cables en una fila, paralelos entre sí. Supongamos que, todavía usando la imagen, los apilamos a lo largo de la$\hat{\mathbf{z}}$eje. Debe quedar claro que, al igual que el$\hat{\mathbf{y}}$componente del campo eléctrico se cancela cuando el alambre corre a lo largo de ese eje, la lámina también cancela las contribuciones de$\hat{\mathbf{z}}$.

Reasignamos la distancia que el punto en cuestión está de la hoja como$D$, como$R$está ahora entre el punto y uno de los cables (una distancia$z$desde el punto de la hoja por encima del punto en cuestión) en toda la hoja. Esto significa que$R$está relacionado ahora, dado por:

$$R = \sqrt{D^2 + z^2} = \frac{D}{\cos \phi}$$

Dónde$\phi$es el ángulo entre las rectas$R$y$D$, similar a como$\theta$es el ángulo de la imagen (simplemente extrapolar a 3D). Además, la carga superficial de la lámina ahora viene dada por:

$$\lambda = \sigma dz = \sigma D d\phi$$

$$\hat{\mathbf{r'}} = \cos \phi \; \hat{\mathbf{x}}$$

Tenga en cuenta que la segunda ecuación podría no tener mucho sentido al principio; sin embargo, es similar a nuestra transformación anterior ($\hat{\mathbf{x}} = \cos \theta \; \hat{\mathbf{r}}$) excepto que la dirección es un nuevo desplazamiento de$\hat{\mathbf{r'}}$.

Si tomamos la respuesta para el campo eléctrico a través de una línea de carga y la ponemos en forma diferencial:

$$d\vec{E_{r'}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda}{R} \;\hat{\mathbf{r'}}$$

Sustituyendo:

$$d\vec{E_x} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2 \sigma D }{D} \frac{\cos \phi}{\cos \phi} d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$

Finalmente, nuevamente, como con el cable, integramos sobre toda la hoja:$-\frac{\pi}{2} \rightarrow \phi \rightarrow \frac{\pi}{2}$

$$\vec{E_x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) \left( \pi \right) = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$$

Como puede ver, debido a la geometría de la lámina infinita, la dependencia de la distancia desde la lámina quedó fuera de la ecuación (sin aproximaciones, en su mayor parte). Haciendo el cálculo a partir de primeros principios, hemos obtenido una ecuación para el campo eléctrico a través de una placa infinita que uno normalmente encontraría en un libro de texto.

Si su pregunta fue por la razón real (y no por cómo la conocemos), toda esta derivación es una consecuencia de la ley de Coulomb. Preguntar por qué la ley de Coulomb es como es, está fuera del alcance de esta respuesta (¿y de la física?).

He aquí una forma rápida de pensar en ello.

Imagina que estás a una distancia R de la placa y conoces la fuerza de un círculo sobre la placa que tiene un radio R. El área del círculo es pi R^2.

Ahora muévete el doble de lejos. La fuerza de cada carga puntual se reduce de 1/R^2 a 1/4R^2 por la ley del inverso del cuadrado. El área de un círculo que tiene radio 2R es 4 pi R^2.

La geometría significa que la fuerza total permanece igual. Cada cambio debido a la ley del inverso del cuadrado se equilibra con el mismo cambio debido al aumento del área de la estructura homóloga.

El campo se vuelve más débil cuanto más te alejas de una carga puntual porque las líneas de campo pueden extenderse.

Las líneas de campo de un plano infinito nunca pueden extenderse; simplemente corren paralelos entre sí para siempre. Entonces la fuerza del campo es constante.

Será mucho más simple si usa la ley de Gauss para probarlo con solo unas pocas líneas que esta complicada forma de manipulación matemática.

Dibujar una superficie gaussiana cilíndrica cerrada con 2 superficies de tapa final A dispuestas para perforar la hoja infinita de cargas perpendicularmente. Dado que las líneas del campo eléctrico son perpendiculares a la lámina de cargas, y la superficie gaussiana del cilindro cerrado también es perpendicular a la lámina de cargas, las líneas del campo eléctrico también deben ser perpendiculares a las 2 áreas de la superficie del extremo de la tapa A, lo que significa que el campo eléctrico El vector E y el vector de área diferencial del área diferencial delta A son paralelos y apuntan hacia la misma dirección x. Así que tge dit producto E dA se puede expresar como ( Ei) (dAi) EdA i*i=EdA(1) = EdA Ahora simplemente inserte el resultado en la ecuación de la ley de Gauss para una carga en una superficie cerrada, y tome la integral de la siguiente manera: Sea Eo la constante de permitividad

Eo integral de EdA= EoE integral dA = Qenc
donde Qenc es la carga en la lámina de cargas encerrada por la superficie gaussiana cilíndrica perforante =aA donde a es la densidad de carga y A es el área superficial

Como dA =A ----> el resultado integral es EoEA= Qenc Como hay 2 superficies A, EoE (A+A) Qenc= aA ----> E = aA/2AEo

E = a/2Eo. Dado que no hay ninguna variable que represente la distancia r en la ecuación de la magnitud del campo eléctrico, la magnitud del campo eléctrico de la hoja infinita de cargas es independiente de la polvorancia entre la hoja de cargas y cualquier punto en el campo eléctrico, y ambos a y Eo son constantes, por lo tanto E = constante en todos los puntos del campo eléctrico

Considere una placa cargada negativamente y un electrón a una pequeña distancia de ella.

La placa repele la carga. Los electrones en la placa que están más cerca del electrón libre empujan en dirección perpendicular y también empujan más porque están más cerca que cualquier otro electrón en la placa.

Las otras cargas están a mayor distancia y empujan menos, y también en su mayoría hacia los lados. Debido a la simetría, solo quedan los componentes perpendiculares a la placa. Por cada carga en un lado del electrón, hay otra carga en el lado opuesto.

Si aleja el electrón de la placa, la cantidad de cargas que empujan menos hacia los lados aumenta (una mayor parte de la carga de la placa está "debajo" del electrón) en la cantidad justa para compensar la mayor distancia.