Proyección iterativa en estado fundamental

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Proyección iterativa en estado fundamental

Física
simulaciones
estado fundamental
mecánica cuántica
física computacional

rojocinco

En este documento , dice que uno puede "determinar la función de onda del estado fundamental aplicando el operador de proyección $\exp(-\tau H)$ a un estado inicial arbitrario $|\Psi\rangle$ , y que en el límite de $\tau \to \infty$ , tenemos eso $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ converge al verdadero estado fundamental del sistema. Luego continúa afirmando que esta proyección no se puede hacer en un solo paso ya que los términos en el hamiltoniano $H$ no se trasladen entre sí. Mi pregunta es doble:

Cómo lo sabemos $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ converge al verdadero estado fundamental del sistema en el límite $\tau \to \infty$ ? No recuerdo que esto haya surgido en ninguno de mis cursos de QM, pero es posible que me esté perdiendo algo muy evidente aquí.
¿Por qué un hamiltoniano con términos no conmutables significa que no podemos hacer esta proyección en un solo paso? Entiendo cómo los términos no conmutativos causan dificultades cuando queremos dividir $\tau$ en muchos pedazos pequeños y "construir" al máximo $\tau$ aplicando el operador de proyección iterativamente. Sin embargo, la forma en que está escrita esta oración en el papel me hace pensar que hay alguna razón a priori por la cual $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ no da el verdadero estado fundamental, después de una sola aplicación, cuando $H$ contiene términos que no son de desplazamiento.

¡Gracias por la ayuda!

Respuestas (4)

Proyección iterativa en estado fundamental

nerviosxxx · Answer 1

Meng Cheng prácticamente ya respondió la pregunta, pero aún podría ser útil explicar el significado de "demasiado difícil de calcular". $e^{-\tau H}$ por un finito $\tau$ ".

A lo que se refiere la dureza es a la complejidad computacional del problema/algoritmo numérico propuesto. Es decir, dado un problema de tamaño $N$ (por ejemplo, aquí en el documento al que se hace referencia $N$ es el número de giros que se desea simular), cuánta memoria y cuánto tiempo necesita.

La importancia de esto se debe a que, por lo general, queremos resolver problemas en los que $N$ es grande: obviamente, informática $e^{-\tau H}$ por ejemplo, un hamiltoniano de 1024x1024 $H$ describir 10 giros no es un problema, simplemente escriba exp(H) en MATLAB o Mathematica. Pero pida a MATLAB que exponga exponencialmente $H$ durante 100 giros y su computadora fallará.

Dado que la exponenciación de un hamiltoniano generalmente da como resultado una matriz densa, esto tiene una mala escala de memoria: exponencial en $N$ . Para escalar en el tiempo, consulte: https://mathoverflow.net/questions/239073/what-is-the-time-complexity-of-the-matrix-exponential

Por lo tanto, tratando ingenuamente de calcular $e^{-\tau H}$ es una locura

Las ideas clave que utiliza el documento son:

La exponencial en tiempo finito se puede escribir como el producto de muchas exponenciales en tiempos pequeños $e^{-\tau H} = e^{-d \tau H}e^{-d \tau H}\cdots e^{-d \tau H}$ (esto no es una aproximación).
Para exponenciales de tiempo pequeño $e^{-d \tau H}$ , se puede aproximar (descomposición de Trotter) como en la ecuación. 4 del papel: $e^{-d\tau H} = e^{-d\tau H_z} e^{-d\tau H_y} e^{-d\tau H_x} + O(d\tau^2)$
Ingenuamente podrías pensar, $H_z, H_y, H_x$ siguen siendo matrices grandes, por lo que exponenciarlas sigue siendo difícil, como en el caso general. Pero lo bueno de cada uno $H_z, H_y, H_x$ es que cada uno de ellos está hecho de sumas de términos locales que se conmutan. Entonces la matriz completa $e^{-d\tau H_z}$ está en sí mismo simplemente hecho de productos de exponenciaciones locales $e^{-d\tau H_{z,local}}$ dónde $H_{z,local}$ solo actúa en 4 sitios (suponiendo un modelo de vecino más cercano) y, por lo tanto, es fácil de hacer.

Además, tenga en cuenta que tenemos la intención de aplicar $e^{-\tau H}$ a una función de onda. Así que en realidad no tenemos que formar el completo $e^{-d \tau H_z}$ etc., lo que sería enorme. En su lugar, simplemente aplicamos $e^{-d\tau H_{z,local}}$ a cada parte local de la función de onda. ¡Esto es muy rápido y eficiente en memoria!

Tomas Fritsch · Answer 2

Cómo lo sabemos $\exp(−\tau H)|Ψ\rangle$ converge al verdadero estado fundamental del sistema en el límite $\tau \to \infty$ ?

Puedes escribir el hamiltoniano en su forma diagonalizada

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}_{norte} | {mi}_{norte} ⟩ ⟨ {mi}_{norte} | \end{matrix}

$H=\sum_{n=0}^\infty E_n|E_n\rangle\langle E_n| \tag{1}$ donde el

E_{n}

$E_n$ son los valores propios y

| E_{n} ⟩

$|E_n\rangle$ los vectores propios de

H

$H$ . Especialmente,

E_{0}

$E_0$ es el valor propio más bajo, y

| E_{0} ⟩

$|E_0\rangle$ es el estado fundamental.

De esto puedes obtener

\begin{matrix} (2) & {mi}^{- τ H} = \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}^{- τ {mi}_{norte}} | {mi}_{norte} ⟩ ⟨ {mi}_{norte} | \end{matrix}

$e^{-\tau H}=\sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle\langle E_n| \tag{2}$

Puedes descomponer cualquier vector $|\Psi\rangle$ como una combinación lineal de los vectores propios $|E_n\rangle$

\begin{matrix} (3) & | Ψ ⟩ = \sum_{metro = 0}^{\infty} C_{metro} | {mi}_{metro} ⟩ \end{matrix}

$|\Psi\rangle=\sum_{m=0}^\infty c_m|E_m\rangle \tag{3}$

Ahora aplique el operador (2) al vector (3):

\begin{aligned} {mi}^{- τ H} | Ψ ⟩ = & \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}^{- τ {mi}_{norte}} | {mi}_{norte} ⟩ ⟨ {mi}_{norte} | \sum_{metro = 0}^{\infty} C_{metro} | {mi}_{metro} ⟩ \\ = & \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}^{- τ {mi}_{norte}} | {mi}_{norte} ⟩ \sum_{metro = 0}^{\infty} C_{metro} ⟨ {mi}_{norte} | {mi}_{metro} ⟩ \\ = & \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}^{- τ {mi}_{norte}} | {mi}_{norte} ⟩ \sum_{metro = 0}^{\infty} C_{metro} d_{norte metro} \\ = & \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}^{- τ {mi}_{norte}} C_{norte} | {mi}_{norte} ⟩ \\ = & {mi}^{- τ {mi}_{0}} \sum_{norte = 0}^{\infty} {mi}^{- τ ({mi}_{norte} - {mi}_{0})} C_{norte} | {mi}_{norte} ⟩ \\ = & {mi}^{- τ {mi}_{0}} (C_{0} | {mi}_{0} ⟩ + \sum_{norte = 1}^{\infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{{mi}^{- τ ({mi}_{norte} - {mi}_{0})}}} C_{norte} | {mi}_{norte} ⟩) \\ \to & {mi}^{- τ {mi}_{0}} C_{0} | {mi}_{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} e^{-\tau H}|\Psi\rangle =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle\langle E_n| \sum_{m=0}^\infty c_m|E_m\rangle \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle \sum_{m=0}^\infty c_m\langle E_n|E_m\rangle \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle \sum_{m=0}^\infty c_m\delta_{nm} \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n} c_n |E_n\rangle \\ =&\ e^{-\tau E_0} \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau (E_n-E_0)} c_n |E_n\rangle \\ =&\ e^{-\tau E_0} \left(c_0|E_0\rangle + \sum_{n=1}^\infty \underbrace{e^{-\tau (E_n-E_0)}}_{\to 0} c_n |E_n\rangle\right) \\ \to&\ e^{-\tau E_0} c_0|E_0\rangle \end{align}$

Entonces para $\tau \to \infty$ finalmente obtuviste un vector proporcional al estado fundamental $|E_0\rangle$ .

¿Por qué un hamiltoniano con términos no conmutables significa que no podemos hacer esta proyección en un solo paso?

Tampoco entiendo de qué términos no conmutativos están hablando los autores en esta declaración. Ciertamente $H$ viaja con $H$ , así que esto no es lo que quieren decir.

Bueno, el límite que argumentas que existe generalmente no existe (tienes que normalizar todo para probar la existencia del límite). Si existe, es posible que no converja al estado fundamental. Es suficiente elegir el vector inicial con $c_0=0$ .
@ValterMoretti generalmente se debe usar un vector inicial aleatorio, que casi seguramente contendrá un valor distinto de cero $c_0$ . Pero aún así, este método de tiempo imaginario no parece mejor que el de Arnoldi, que también solo requiere multiplicaciones del hamiltoniano por cualquier vector dado para funcionar, y funciona mejor que la propagación en tiempo imaginario en presencia de niveles de energía estrechamente espaciados cerca de el estado fundamental.

Meng Cheng · Answer 3

Para su pregunta 2, creo que los autores no dijeron nada más profundo que "es demasiado difícil de calcular". $e^{-\tau H}$ directamente para un finito $\tau$ "debido a la no conmutatividad entre diferentes términos en $H$ . Por eso la parten en muchos pedacitos, y por pequeños $\tau$ se puede aplicar la aproximación en la ecuación (4) del artículo.

Valter Moretti · Answer 4

Dado que no tengo acceso al documento, no puedo decir mucho sobre 2. Con respecto a 1, la declaración tal como está es trivialmente falsa, incluso si es verdadera cuando, digamos, hablando en términos generales.

Lo que es matemáticamente cierto es que, para cada vector que no desaparece $\psi$ ,

\underset{t \to + \infty}{límite} \frac{{mi}^{- t H} ψ}{| | {mi}^{- t H} ψ | |} = ψ_{0}

$\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{-tH} \psi}{||e^{-tH}\psi||} = \psi_0$ dónde

ψ_{0}

$\psi_0$ es un vector propio normalizado de

H

$H$ con valor propio dado por

min σ (H) \cap σ_{ψ} (H),

$\min \sigma(H) \cap \sigma_\psi(H)\:,$ dónde

σ (H)

$\sigma(H)$ es el espectro de

H

$H$ y

σ_{ψ} (H)

$\sigma_\psi(H)$ es el conjunto mínimo de valores propios cuyos vectores propios abarcan

ψ

$\psi$ . (Supongo que trataré con matrices hermitianas y

H

$H$ es una matriz de este tipo, por lo que todo es de dimensión finita.)

En particular, es fácil de elegir $\psi$ tal que el límite anterior no converge al estado fundamental de $H$ (asumiendo que el espacio propio de energía mínima es unidimensional).

Si, hasta las fases, $\phi$ representa tal estado fundamental, es suficiente elegir $\psi \perp \phi$ .

La prueba de mis afirmaciones es una readaptación directa de la respuesta de Thomas Fritsch.

Proyección iterativa en estado fundamental

rojocinco

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Valter Moretti

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