Tomando curl numéricamente de una escritura hamiltoniana en el espacio de Fourier

Tengo un hamiltoniano dado en 2D k-space

$$H = \sum_{\vec k} \begin{bmatrix} a_k^+&b_k^+ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_{11}&h_{12}\\ h_{21}&h_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_k\\b_k \end{bmatrix} \tag{1}$$ las cantidades$h_{ij}=h_{ij}(k_x,k_y)$es decir, depender de$k_x,k_y$. Y un operador actual se define como $$J(\vec k) = -e\hat v_x = -\frac{e}{\hbar}\frac{\partial H}{\partial_{k_x}} \tag{2}$$ quiero calcular la cantidad $$A = \nabla_{\vec k} \times J(\vec k) \tag{3}$$ Puedo encontrar numéricamente$J(\vec k)$para cada punto$k_x,k_y$del espacio de Fourier. Pero para encontrar rizo de$J(\vec k)$, Necesito$\hat k_x$dirección y$\hat k_y$componente de dirección de$J(\vec k)$es decir, por supuesto $$J(\vec k) = J_x \hat k_x + J_y \hat k_y \tag{4}$$ ¿Hay alguna manera de encontrar estos$J_x$y$J_y$componentes de$J(\vec k)$?

Ya veo, en la siguiente publicación calculan curl de$J(\vec k)$(Ec. 13 y Figura 4), si no lo estoy haciendo bien, ¿cuál es el camino correcto?

Origen del efecto Hall del espín magnético: vorticidad de la corriente de espín en el mar de Fermi