Propiedades de simetría de las matrices de Wigner

Tengo una expresión de la forma

S = ∑ metro , norte = − j j ( − 1 ) metro − norte D metro norte j ( gramo ) D metro norte j ( gramo )

Este es el resultado final de un largo cálculo, del cual estoy bastante seguro de que es correcto. Por varias razones, espero que sea posible escribir el resultado en términos de los caracteres de SU(2). Sin embargo, no puedo ver cómo esto es posible aquí.

Al final, tengo que conseguir de alguna manera el rastro. En primer lugar, necesitaríamos cambiar el orden de los índices de una de las matrices de Wigner. Esto se puede hacer tomando la transpuesta, es decir

D j ( gramo ) metro norte = D j ( gramo ) norte metro T

Sin embargo, todavía tenemos que deshacernos del factor de signo y la única forma que se me ocurre es usar la fórmula

D metro norte j ( gramo ) = ( − 1 ) metro − norte D − metro − norte j ( gramo ) ∗

Combinando esto, obtengo algo como

S = ∑ metro , norte = − j j D j ( gramo ) − norte − metro † D metro norte j ( gramo )

Sin embargo, esto no parece ayudar. ¿Echo de menos alguna propiedad de las matrices de Wigner?

¿Has probado un ejemplo simple, por ejemplo, con j=1/2 o 1?

Respuestas (1)

Según la Sec. 4.4.4 de

Varshalovich, DA, Moskalev, AN y Khersonskii, VKM, 1988. Teoría cuántica del momento angular

( − 1 ) METRO ′ − METRO D METRO METRO ′ j ( α , β , γ ) = D METRO ′ METRO j ( γ , β , α ) = D METRO ′ METRO j ( gramo ¯ )

Así su suma

∑ metro , norte ( − 1 ) metro − norte D metro norte j ( gramo ) D metro norte j ( gramo ) = ∑ metro , norte D norte metro j ( gramo ¯ ) D metro norte j ( gramo ) = ∑ norte D norte norte j ( gramo ¯ gramo )
es de hecho un personaje, pero de gramo ¯ gramo , no de gramo .

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