¿Cómo se relacionan los campos cuánticos con las representaciones del grupo de Lorentz?

Intentaré responder solo a la pregunta 1 sobre la relación entre los campos de operadores y los estados de partículas individuales. Me ha interesado principalmente entender QED y, por lo tanto, no he pensado mucho en los escalares cargados, por lo que no puedo responder la pregunta 2 en este momento.

¿Por qué representamos las partículas de espín 0 como campos escalares, las partículas de espín 1/2 como espinores y las partículas de espín 1 como 4 vectores?

Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales, por lo que los campos clásicos tienen que transformarse bajo el grupo homogéneo de Lorentz SO(1,3). Por lo tanto, los campos más simples deberían ser representaciones irreducibles de SO(1,3). Es muy complicado encontrar los irreps de SO(1,3), sin embargo, es mucho más fácil obtener los irreps de la doble cubierta del grupo de Lorentz, que es el grupo lineal especial (determinante de la unidad) de$2\times 2$matrices complejas SL(2,C). Felizmente, a la naturaleza también le gusta SL(2,C). Los irreps de dimensión finita de SL(2,C) son espinores de Weyl completamente simétricos de la forma$\psi^{AB\ldots C}$donde los índices$A,B,\ldots,C$tomar valores${1,2}$. Los irreps de dimensión finita de SL(2,C) también son campos conjugados complejos que se escriben con índices punteados (notación de Van der Waerden)$\chi_{\dot{A}\dot{B}\dots\dot{C}}$para recordarnos que sus matrices de transformación son las complejas conjugadas.

Un espinor de Weyl completamente simétrico con$m$índices tiene$m+1$componentes independientes. Entonces, un campo de espinor de Weyl$\psi^{A}$tiene dos componentes y representa un espín 1/2, un campo de espinor simétrico$\psi^{AB}$tiene tres componentes y representa un espín 1. Los espinores de Weyl no son invariantes bajo paridad, por lo que para hacer campos invariantes de paridad se necesita la suma directa de un campo y una transformación bajo la transformación compleja conjugada. El campo de electrones invariante de paridad es de la forma$\psi^{A}\oplus\chi^{\dot{B}}$. Este tiene cuatro componentes independientes. Cuando se apila como un vector de columna con cuatro componentes, es un campo de espinor de Dirac. El campo de fotones invariante de paridad es de la forma$\psi^{AB}\oplus\psi^{*}_{\dot{A}\dot{B}}$. Los tres componentes complejos independientes de$\psi^{AB}$están relacionados linealmente con los seis componentes de los campos eléctrico y magnético$E^{i}$y$B^{i}$.

Es muy fácil establecer las ecuaciones de movimiento para estos campos clásicos; realmente no hay lugar para conjeturas. El operador de 4-momentum es$\hat{p}_{\mu}=i\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. El operador de 4 momentos en la notación de espinor de Weyl es$\hat{p}^{\dot{A}}_{B}=\hat{p}^{\mu}[\sigma_{\mu}]^{\dot{A}}_{B}$donde los cuatro$2\times 2$matrices$\sigma_{\mu}$son las matrices de Pauli. La ecuación de Dirac para el campo de electrones es,

$$\begin{eqnarray*} \hat{p}^{\dot{A}}_{B}\psi^{B}=m\chi^{\dot{A}}\\ \hat{p}^{A}_{\dot{B}}\chi^{\dot{B}}=m\psi^{A} \end{eqnarray*}$$ Las ecuaciones de Maxwell para el campo de fotones son, $$\begin{equation} \hat{p}^{\dot{A}}_{B}\psi^{BC}=0 \end{equation}$$ El propósito de la ecuación de Dirac es forzar el impulso para estar en el caparazón. $p^{\mu}p_{\mu}=m^{2}$. El propósito de las ecuaciones de Maxwell es reducir los seis grados reales de libertad del campo de fotones $\psi^{AB}$a los dos grados de libertad de helicidad de un fotón.

La respuesta corta a la pregunta es que los campos tienen que estar hechos de representaciones irreducibles de la doble cubierta del grupo homogéneo de Lorentz SL(2,C).

¿Cómo se relacionan estos campos con los estados de una partícula del espacio de Hilbert?

Escribamos los estados de una sola partícula como$|p,\lambda\rangle$dónde$p$es impulso y$\lambda$es helicidad. Para una partícula masiva, helicidad$\lambda$es el componente de espín medido a lo largo del vector de 3 momentos de la partícula. Para una partícula masiva de espín 1/2, la helicidad toma valores$\lambda=-1/2,+1/2$. Para una partícula masiva de espín 1, la helicidad toma valores$\lambda=-1,0,+1$. Es mejor trabajar con la helicidad que con la componente z del espín en el marco de reposo de la partícula porque la helicidad es invariante bajo una rotación de la partícula y también es invariante bajo un impulso a lo largo de la dirección del 3-momentum de la partícula.

He pensado en esta pregunta para los electrones, así que consideraré este caso. El campo de electrones clásico es un espinor de Dirac.$\psi^{a}(x^{\mu})$donde el indice$a=1,2,3,4$etiqueta los cuatro componentes del espinor de Dirac. Cuando pasamos a la teoría cuántica, este campo se convierte en un campo de operador$\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})$. Este campo de operadores tiene una expansión en términos de operadores de emisión y absorción para electrones y positrones,

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\left(\phi^{a}_{\lambda}(p)\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)e^{-i\omega t}+\text{ positron emission terms}\right)e^{ip^{r}x^{r}} \end{equation}$$ donde el $\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)$son operadores de absorción para electrones de 3 impulsos $p$y helicidad $\lambda$en la representación de Schrödinger (operadores independientes del tiempo) y $\phi^{a}_{\lambda}(p)$es una solución de onda plana de la ecuación de Dirac y $\omega=p^{0}$(energía). Podemos traer los estados de una sola partícula dejando que el operador $\hat{\psi}^{\dagger}(x)$actuar sobre el estado de vacío $|S\rangle$. $$\begin{equation} \hat{\psi}^{\dagger a}(x^{\mu})|S\rangle=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\phi^{\dagger a}_{\lambda}(p)|p,\lambda\rangle e^{ip_{\mu}x^{\mu}} \end{equation}$$ Tome el conjugado hermitiano por conveniencia para volver al campo de electrones, $$\begin{equation} \langle S|\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\phi^{a}_{\lambda}(p)e^{-ip_{\mu}x^{\mu}}\langle p,\lambda | \end{equation}$$ Introducir los estados base $\langle S|\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\langle x^{\mu}, a|$. La ecuación anterior es una transformación de coordenadas entre los estados base de una sola partícula $\langle p,\lambda|$y la nueva base establece $\langle x^{\mu},a|$marcado por el punto del espacio-tiempo $x^{\mu}$y el índice de espinor de Dirac $a$. La transformación de coordenadas se puede escribir de manera más transparente como, $$\begin{equation} \langle x,a|=[T^{-1}]^{(x,a)}_{\ \ \ \ \ (p,\lambda)}\langle p,\lambda| \end{equation}$$ dónde $(x,a)$y $(p,\lambda)$son etiquetas compuestas y $T^{-1}$es la matriz de transformación de la base de los estados de una sola partícula a la base del campo de espinor. Los elementos de la matriz de la transformación son, $$\begin{equation} \langle x,a|p,\lambda\rangle=[T^{-1}]^{(x,a)}_{\ \ \ \ \ (p,\lambda)}=\frac{\sqrt{m}}{(2\pi)^{3/2}}\phi^{a}_{\lambda}(p)e^{-ip_{\mu}x^{\mu}} \end{equation}$$ En la transformación, la suma de las etiquetas de momento utiliza la medida invariante de Lorentz $d^{3}p/(2p^{0})$.

En resumen, el campo del operador de electrones es, esencialmente, una base de estados que se relaciona con los estados base de una sola partícula mediante una transformación de coordenadas. En otras palabras, el campo del operador de electrones y los estados de una sola partícula son representaciones equivalentes del grupo de Poincaré. Aprendí esto de la sección 10.5.3, página 207 de "Teoría de grupos en física" de Wu-Ki Tung.

Después de la cuantificación, los campos se promueven a operadores y el espacio vectorial en el que actúan ahora consiste en estados de una partícula.

Julian Rey hizo la pregunta anterior en la sección de comentarios. Decidí ampliar mi respuesta porque es difícil responder a este punto adicional en un comentario.

El operador de emisión para un electrón en un estado de momento$p$y helicidad$\lambda$es$\hat{\eta}_{p,\lambda}$. En otras palabras, cuando el operador actúa sobre el vacío$|S\rangle$obtenemos el estado de una sola partícula$|p,\lambda\rangle=\hat{\eta}_{p,\lambda}|S\rangle$. Estos operadores de emisión no hacen nada más que actuar sobre el vacío, por lo que también podemos abandonar el estado de vacío y simplemente registrar la equivalencia.$\hat{\eta}_{p,\lambda}\sim |p,\lambda\rangle$. Los operadores de emisión de electrones son sinónimos de los estados de electrones de una sola partícula. En consecuencia, la expansión del campo del operador de electrones, dada anteriormente, en términos de los operadores de emisión y absorción,

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\left(\phi^{a}_{\lambda}(p)\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)e^{-i\omega t}+\text{ positron emission terms}\right)e^{ip^{r}x^{r}} \end{equation}$$ en realidad está diciendo que el campo del operador de electrones es una combinación lineal de estados de partículas individuales. El campo del operador de electrones $\hat{\psi}^{a}(x)$es realmente un conjunto infinito de vectores base $\hat{\psi}^{a}(x)\sim |x,a\rangle$(ignorando los positrones para simplificar el argumento) que abarcan el mismo espacio que los estados de una sola partícula. La respuesta a la pregunta es negativa; el campo del operador no actúa sobre los estados de una sola partícula, el campo del operador es solo otro conjunto de vectores base que abarcan el espacio de los estados de una sola partícula.

Los campos de operadores tienen otro papel en la teoría: se pueden multiplicar entre sí para formar polinomios que producen estados de múltiples partículas.