Prueba de Wigner de la inexistencia de representación unitaria finita del grupo de Lorentz

Sea, como en el artículo de Wigner,$D$sea ​​una representación unitaria finita del grupo de Lorentz. Probamos que$D$es trivial Como$D$es una representación, su fórmula anterior da

$$D(M(\alpha))\,D(\Lambda(\gamma))\,D(M(\alpha))^{-1}=D(\Lambda(\alpha\gamma)).$$ En particular, las matrices unitarias $$D\Lambda(\gamma)\quad \mathrm{and}\quad D\Lambda(\alpha\gamma)$$ tienen el mismo conjunto finito de valores propios, para todos los números reales$\alpha$y$\gamma$.

Wigner construye las transformaciones de Lorentz$\Lambda(\gamma)$, para un parámetro real$\gamma$, de una manera que

$$\Lambda(\gamma)\Lambda(\gamma')= \Lambda(\gamma+\gamma').$$ En particular, sustituyendo$\frac12\gamma$para$\gamma$y$\gamma'$, uno tiene $$\Lambda(\tfrac12\gamma)^2=\Lambda(\tfrac12\gamma+\tfrac12\gamma)=\Lambda(\gamma),$$ es decir,$\Lambda(\tfrac12\gamma)$es una transformación de Lorentz de raíz cuadrada de$\Lambda(\gamma)$. Por lo tanto, el conjunto de valores propios de$D\Lambda(\tfrac12\gamma)$es un conjunto de raíces cuadradas del conjunto de valores propios de$D\Lambda(\gamma)$, como$D\Lambda(\frac12\gamma)$es diagonalizable. Sin embargo, por lo que hemos visto anteriormente, el conjunto de valores propios de$D\Lambda(\tfrac12\gamma)$también es igual al conjunto de valores propios de$D\Lambda(\gamma)$. De ello se deduce que el conjunto finito de valores propios de$D\Lambda(\gamma)$contiene una raíz cuadrada de cada uno de sus elementos. Por lo tanto, el único valor propio de$D\Lambda(\gamma)$es$1$, y$D\Lambda(\gamma)$es la identidad. Dado que los elementos genéricos del grupo de Lorentz son de la forma$\Lambda(\gamma)$, la representación$D$es trivial