"Propiedad de contracción de la matriz de densidad térmica" en el artículo de Maldacena de A Bound of Chaos

Question

"Propiedad de contracción de la matriz de densidad térmica" en el artículo de Maldacena de A Bound of Chaos

Física
operador de densidad
teoría cuántica de campos
teoría del campo térmico
funciones de correlación

Jaswin

En el artículo, https://arxiv.org/abs/1503.01409 (Maldacena, et al. “A Bound on Chaos.”) en la ecuación (24), los autores escriben una desigualdad,

T r (y^{1 + η} V y^{3 - η} V) \leq T r (y V y^{2} V)

$Tr( y^{1+\eta} V y^{3-\eta} V ) \leq Tr(y V y^2 V)$ Dónde

y

$y$ es un cuarto de la matriz de densidad térmica

ρ

$\rho$ , es decir

y = \frac{{mi}^{(- β / 4 \hat{H})}}{Z^{1 / 4}} = {\hat{ρ}}^{1 / 4}

$y = \frac{e^{(-\beta/4 \hat{H})}}{Z^{1/4}} = \hat{\rho}^{1/4}$ y llamarlo "la propiedad contratante de

y

$y$ ". Aunque no encontré ninguna literatura apropiada para esto, creo que la idea es reducir los poderes de

ρ

$\rho$ en el valor esperado y, por lo tanto, reduzca el factor de amortiguamiento para obtener esta desigualdad. Suponiendo que el hamiltoniano es un espectro discreto y de límite inferior, y

V = v_{i j}

$V = v_{ij}$ alguna matriz hermítica, puedo expresar

T r (ρ^{a / β} V ρ^{b / β} V) = \sum_{i, j} {mi}^{- a {mi}_{i}} {mi}^{- b {mi}_{j}} | v_{i j} |^{2} / Z^{a + b}

$Tr (\rho^{a/\beta} V \rho^{b/\beta} V)= \sum_{i,j} e^{-a E_i} e^{-b E_j} |v_{ij}|^2/Z^{a+b}$

Cuando el espectro del hamiltoniano es positivo, la desigualdad anterior es sencilla, pero mi pregunta es cómo demostrarlo para el caso general, es decir, hay un número finito de estados de energía negativa. ¿Asumimos alguna forma de $v_{ij}$ o hay alguna identidad matemática para probar esto?

vcl

¿Qué cambia cuando el espectro tiene partes negativas?

Jaswin

e^{+ E α}

$e^{+E\alpha }$ comenzará a crecer bien, pero de todos modos siempre puedo considerar e^{-E_i} como un número positivo e intentar usar algunas desigualdades basadas en eso.

Respuestas (1)

"Propiedad de contracción de la matriz de densidad térmica" en el artículo de Maldacena de A Bound of Chaos

$e^{+E\alpha }$ comenzará a crecer bien, pero de todos modos siempre puedo considerar e^{-E_i} como un número positivo e intentar usar algunas desigualdades basadas en eso.

vcl · Answer 1

primero escribe $\rho, y$ en la base propia del hamiltoniano,

ρ = \sum_{norte} {pag}_{norte} | norte ⟩ ⟨ norte | y = \sum_{norte} q_{norte} | norte ⟩ ⟨ norte |

$\rho = \sum_n p_n |n\rangle \langle n| \\ y = \sum_n q_n |n\rangle \langle n|$

con $q_n^4 = p_n$ , En particular $0\le q_n \le 1$ . En esta base la desigualdad se convierte en

\sum_{norte, metro} | V_{norte, metro} |^{2} q_{norte}^{1 + η} q_{metro}^{3 - η} \leq \sum_{norte, metro} | V_{norte, metro} |^{2} q_{norte} q_{metro}^{2}

$\sum_{n,m} |V_{n,m}|^2 q_n^{1+\eta} q_m^{3-\eta} \le \sum_{n,m} |V_{n,m}|^2 q_n q_m^2$

En este punto las desigualdades $q_n^{1+\eta} \le q_n$ y $q_m^{3-\eta} \le q_m^2$ se verifican fácilmente para $0\le \eta\le 1$ , lo que implica el reclamo.

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Jaswin

vcl

Jaswin

Respuestas (1)

vcl

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