Estimación de rastro de potencias de matriz de densidad

Dado un hamiltoniano de límite inferior muy genérico, ¿existe una estimación de cómo T r ( ρ 1 / k ) crece como k > 0 aumenta? ¿Diverge esta cantidad en función de norte , los grados de libertad del sistema?

Respuestas (1)

Ese rastro no es más que la suma de lo que no se desvanece ρ autovalores a la potencia 1/r y teniendo en cuenta sus multiplicidades. Dado que esos valores propios λ pertenece a ( 0 , 1 ] , entonces λ 1 / r → 1 como r → + ∞ . En resumen t r ( ρ 1 / r ) tiende al número de valores propios que no desaparecen de ρ teniendo en cuenta las multiplicidades. En particular, puede divergir.

Estaba escribiendo un artículo de varios párrafos mientras tú escribías esto y tu respuesta es mucho más simple y concisa que lo que había escrito. ¡Muy bien hecho!
... Estoy usando mi teléfono, debo ser conciso :)
@CRDrost: Lo siento, debería haber esperado un poco más antes de aceptar la respuesta. A partir de la próxima esperaré un poco :)
En realidad omití algunos detalles. Por ejemplo, si los valores propios son infinitos, uno tiene que usar el teorema de la convergencia monótona... pero la sustancia es lo que señalé.
@ValterMoretti: Pero, ¿qué pasa cuando r es finito? ¿Hay alguna forma de argumentar que el rastro será finito? Debería haber mencionado eso en mi pregunta.
Es finito siempre que los valores propios de ρ no son acumulados por 0 . En este caso ρ 1 − mi = ρ ρ − mi y el segundo factor está acotado. Dado que los operadores de clase de seguimiento forman un ideal de dos colas en el álgebra de operadores acotados, el producto es la clase de seguimiento.
Si se acumulan por 0 hay que estudiar el problema caso por caso...
No entiendo completamente por el término acumular por 0, pero T r ρ 0 = T r 1 que básicamente diverge, así que creo T r ρ − ϵ también divergirá. Además, dado que las energías están limitadas solo desde abajo, el cambio de signo en realidad dará una serie de crecimiento exponencial. Me pregunto si hay una mejor manera de discutir sobre convergencia/divergencia.
Si los valores propios se acumulan por 0 , los valores propios del operador autoadjunto positivo ρ − ϵ se acumulan por + ∞ . La norma de un operador autoadjunto positivo coincide con el sup de su espectro, por lo que el operador considererà tiene norma infinita...
Hay casos en los que la traza es finita para varios r , aunque el espectro admite 0 como punto de acumulación. Piensa en un gas de bosones libres en una caja finita. El operador estadístico tiene una traza finita para β ∈ ( 0 , + ∞ ) . Sin embargo, este resultado puede probarse explícitamente considerando la función de partición. (Perdón por varios errores tipográficos, el corrector automático de mi teléfono solo entiende italiano)
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