¿Hay algún significado físico para tal función de correlación?

Una función de correlación euclidiana puede interpretarse como un valor esperado lorentziano "cortando" la integral de trayectoria y continuando la coordenada de tiempo.

Permítanme revisar cómo este procedimiento relaciona las funciones de correlación euclidiana en una variedad cerrada$M\times S^1_\beta$a los valores de expectativa térmica en una teoría cuántica de campo de Lorentz en$M \times \mathbb{R}_t$. Llevar$M = S^1_l$por simplicidad. Entonces la afirmación es que la correlación euclidiana funciona en$T^2=S^1_l\times S^1_\beta$calcular los valores esperados de los operadores locales en$S^1_l\times \mathbb{R}_t$en estado térmico.

Comience con la integral de trayectoria euclidiana en$T^2$sin inserciones de operadores. Imagine cortar el toro en una sección transversal circular en un tiempo euclidiano fijo, digamos$\tau = 0$. Obtenemos un cilindro de longitud$\beta$delimitado por dos círculos en$\tau = 0$y$\beta$. Esta integral de trayectoria prepara la matriz de densidad térmica$e^{-\beta H}$, que toma un estado en$\mathcal{H}(S^1_l)$y lo evoluciona hacia adelante en el tiempo euclidiano por$\beta$. La función de partición térmica del QFT en$S^1_l \times \mathbb{R}_t$,$Z(\beta) = \mathrm{tr}_{\mathcal{H}(S^1_l)} e^{-\beta H}$, luego se calcula pegando los dos extremos de la integral de trayectoria (debido a la traza), lo que simplemente produce la$T^2$Función de partición euclidiana:

$$\mathrm{tr}_{\mathcal{H}(S^1_l)} e^{-\beta H} = \sum_\phi \langle \phi | e^{-\beta H} | \phi \rangle = \int_{T^2} \mathcal{D} \Phi\, e^{-S[\Phi]}.$$

Ahora inserte algunos operadores locales$O_i(\theta_i, 0)$en posiciones$\theta_i$en el círculo en$t_i = \tau_i = 0$donde cortamos el toro. Entonces, por el mismo razonamiento anterior, la integral de trayectoria euclidiana en$T^2$con estas inserciones de operadores calcula el valor de expectativa térmica de los operadores en el QFT en$S^1_l\times \mathrm{R}_t$:

$$\mathrm{tr}_{\mathcal{H}(S^1_l)}\left( e^{-\beta H} O_1(\theta_1,0)\cdots O_n(\theta_n,0) \right) = \int_{T^2} \mathcal{D} \Phi\, e^{-S[\Phi]}O_1(\theta_1,0)\cdots O_n(\theta_n,0).$$

Finalmente, podemos calcular los valores de expectativa térmica de los operadores$O_i(\theta_i,t_i)$en diferentes épocas lorentzianas$t_i$continuando el correlador euclidiano en$T^2$a$\tau_i = i t_i$:

$$\langle O_1(\theta_1,t_1)\cdots O_n(\theta_n,t_n)\rangle_\beta = \int_{T^2} \mathcal{D} \Phi\, e^{-S[\Phi]}O_1(\theta_1,it_1)\cdots O_n(\theta_n,it_n).$$

En otras palabras, calculamos la función de correlación euclidiana$\langle O_1(\theta_1,\tau_1)\cdots O_n(\theta_n,\tau_n)\rangle$en$T^2$e interpretar la respuesta como una función de variables complejas$\tau_i$. Luego, para calcular el valor esperado de Lorentz, evaluamos la respuesta en$\tau_i = i t_i$.

Hemos considerado aquí funciones de correlación Euclidiana en$T^2$ya que su pregunta se refería a los valores de expectativa térmica. Pero este procedimiento es completamente general. Si sabemos cómo calcular funciones de correlación euclidiana en una variedad cerrada$\mathcal{M}$, entonces podemos cortar$\mathcal{M}$en una rebanada$M$en tiempo euclidiano fijo$\tau = 0$. Luego, al continuar la función de correlación euclidiana con el tiempo lorentziano, podemos interpretarlo como un valor esperado en un estado de la teoría lorentziana en$M\times \mathbb{R}_t$.

Formalmente, el valor esperado$\langle \Psi_L |\mathcal{T} O_1(x_1,t_1)\cdots O_n(x_n,t_n) | \Psi_R \rangle$corresponde a un contorno integral de trayectoria en el complejo$t$-avión. primero el estado$|\Psi_R\rangle$en$t=\tau = 0$se prepara mediante una integral de trayectoria euclidiana en la dirección del tiempo imaginario. Luego, el contorno gira y sube a lo largo de la dirección del tiempo real (Lorentziano) donde se insertan los operadores, luego gira y regresa a$t=0$, donde la integral de trayectoria euclidiana que prepara el estado$\langle \Psi_L |$está pegado.