Propiedad conmutativa de la suma de anillos.

Tengo una pregunta simple que me ayudaría a comprender más profundamente el concepto de estructuras (no) conmutativas. Tomemos por ejemplo (la definición de nuestro maestro de) un anillo:

Dejar R ≠ ∅ sea ​​un conjunto, sea ⊕ : A × A → A y ∙ : A × A → A ser operaciones binarias. Además, deja ( R , ⊕ ) sea ​​un grupo conmutativo, ( R , ∙ ) ser un monoide y la siguiente propiedad se cumple para todos a , b , C ∈ R :

a ∙ ( b ⊕ C ) = ( a ∙ b ) ⊕ ( a ∙ C )
( b ⊕ C ) ∙ a = ( b ∙ a ) ⊕ ( C ∙ a )
Luego ordenó triple R = ( R , ⊕ , ∙ ) se llama anillo (unitario).

Además, llamamos anillo R iff conmutativo ( R , ∙ ) es un monoide conmutativo. La conmutatividad de un anillo es siempre una cuestión de su operación multiplicativa porque siempre se supone que la operación aditiva es conmutativa .

¿Alguien podría explicarme la parte en negrita? ¿Por qué incluso en anillos no conmutativos (y campos, etc.) asumimos que la suma es siempre conmutativa? ¿Hay alguna razón seria? ¿Haría algún problema? ¿O el estudio de estructuras con suma no conmutativa simplemente no nos da nada nuevo, por lo que podemos tomar la suma como conmutativa simplemente por nuestra comodidad?

Respuestas (3)

Quizás el comentario se refiera al hecho de que para generalizar anillos a estructuras con suma no conmutativa, no podemos simplemente eliminar el axioma de que la suma es conmutativa, ya que, de hecho, otros axiomas obligan a que la suma sea conmutativa (Hankel, 1867 [1]) . La prueba es simple: aplique la ley distributiva izquierda y derecha en diferente orden al término ( 1 + 1 ) ( X + y ) , verbigracia.

( 1 + 1 ) ( X + y ) = { ( 1 + 1 ) X + ( 1 + 1 ) y = X + X + y + y 1 ( X + y ) + 1 ( X + y ) = X + y + X + y } ⇒ X + y = y + X     b y     C a norte C mi yo     X , y

Así, la conmutatividad de la suma, X + y = y + X , está implícito en estos axiomas:

( 1 )     ∗ distribuye sobre + :     X ( y + z ) = X y + X z ,     ( y + z ) X = y X + z X

( 2 )   + es cancelativo:     X + y = X + z ⇒ y = z ,     y + X = z + X ⇒ y = z

( 3 )   + es asociativo:     ( X + y ) + z = X + ( y + z )

( 4 )     ∗ tiene un elemento neutro 1 :     1 X = X

Para expresar este resultado de manera concisa, recuerde que un SemiAnillo es esa generalización de un Anillo cuya estructura aditiva se relaja de un Grupo conmutativo a meramente un SemiGrupo, es decir, aquí la única hipótesis sobre la suma es que sea asociativa (así que en SemiAnillos, a diferencia de Anillos, la suma no necesita ser conmutativa, ni necesita todos los elementos X tener un inverso aditivo − X ) . Ahora bien, el resultado anterior puede enunciarse de la siguiente manera: un semirremolque con 1 y la suma cancelativa tiene suma conmutativa. Tales semianillos son simplemente subsemirings de anillos (como es norte ⊂ Z ) porque cualquier semigrupo cancelativo conmutativo incrusta canónicamente en un grupo conmutativo, su grupo de diferencias (precisamente de la misma manera Z se construye a partir de norte , es decir, la versión aditiva de la construcción del campo de fracciones).

Los ejemplos de semianillos incluyen: norte ; segmentos iniciales de cardenales; redes distributivas (por ejemplo, subconjuntos de un powerset con operaciones ∪ y ∩ ; R siendo + mínimo o máximo, y ∗ siendo adición; semianillos de semigrupos (p. ej., series de potencias formales); lenguajes formales con union, concat; etc. Para una buena revisión de SemiRings y SemiFields ver [2]. Consulte también Anillos cercanos.

[1] Gerhard Betsch. Sobre los inicios y el desarrollo de la teoría del anillo cercano. pp. 1-11 en:
Anillos cercanos y campos cercanos. Actas de la conferencia celebrada en Fredericton, New Brunswick, del 18 al 24 de julio de 1993. Editado por Yuen Fong, Howard E. Bell, Wen-Fong Ke, Gordon Mason y Gunter Pilz. Matemáticas y sus aplicaciones, 336. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. x+278 pp. ISBN: 0-7923-3635-6 Zbl review

[2] Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim. Semirings y semicampos.   pp. 425-462 en: Manual de álgebra. vol. 1. Editado por M. Hazewinkel. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam, 1996. xx+915 págs. ISBN: 0-444-82212-7 Revisión de Zbl, revisión de AMS

Gracias, es muy interesante! La mayoría de los libros que tengo hablan sobre los temas brevemente sin una visión más profunda y detallada. Estas son las notas con las que me encantaría tener mis libros llenos... El botón Aceptado va para ti.
Nunca supe que la distribución era TAN asombrosa.

Existen los llamados casi semirings ( http://en.wikipedia.org/wiki/Near-semiring ) en los que la suma no es conmutativa.

Por supuesto, se puede desarrollar una teoría en la que la suma no sea conmutativa (ver la respuesta de Boris y su mención de los casi semirings).

¿Por qué los "anillos con suma no conmutativa" son una historia secundaria y la conmutatividad de la suma es la suposición habitual? Sencillamente porque los ejemplos básicos y principales de estos anillos, los que aparecen principalmente haciendo matemáticas, tienen esta propiedad.

Creo que, con mucho, la mayoría de los "anillos" se pueden reconducir de una forma u otra al anillo de matrices sobre alguna estructura algebraica con suma conmutativa (anillos conmutativos o álgebras de división, típicamente). La suma de dichas matrices conmuta.

Propiedad conmutativa de la suma de anillos.
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