Cocientes unidimensionales de anillos de series de potencias formales

Suponer$R=k[[x_1,...,x_n]]$es un anillo de serie de potencia formal sobre el campo$k$, ¿qué podemos decir sobre la estructura de$R/p$si$p$es un ideal primo de$R$tal que tenue$(R/p)=1$. En particular, ¿son estos subanillos de anillos de series de potencias en una variable?

Motivación: dado un subanillo de un anillo de serie de potencias en una variable que se puede escribir como,$k[[x^{a_1},...,x^{a_n}]]$dónde$a_1,...,a_n$son enteros positivos distintos, tenemos un homomorfismo$k[[x_1,...,x_n]]\to k[[x^{a_1},...,x^{a_n}]]$que envía$x_i\to x^{a_i}$. El núcleo de este homomorfismo debe ser un ideal primo ya que$k[[x^{a_1},...,x^{a_n}]]$es un dominio Además, el cociente módulo el kernel debe ser unidimensional ya que el anillo de imágenes es unidimensional. Me preguntaba si tenemos una inversa (parcial) de este resultado. (Me doy cuenta de que el segundo párrafo funcionaría de manera análoga con anillos de polinomios, pero parece anillos de series de potencias y mucho más agradables (son regulares y locales), así que esperaba una descripción más agradable del cociente en el caso de series de potencias).