Automorfismo del producto tensorial de álgebras de Hopf

Question

Automorfismo del producto tensorial de álgebras de Hopf

Matemáticas
teoría del anillo
Hopf-álgebras
álgebra abstracta
álgebra conmutativa

Avenavolo

Dejar $A$ sea un álgebra de Hopf conmutativa sobre el anillo conmutativo $R$ , es decir tenemos comultiplicación $\Delta:A\to A\otimes_{R}A$ , país $\epsilon: A\to R$ y coinverso (o antípoda) $S: A\to A$ . Quiero probar que el mapa $a\otimes b\mapsto (a\otimes 1)\cdot \Delta(b)$ es un automorfismo de $R$ álgebras de $A\otimes_{R}A$ . Encontré un ejercicio similar en las notas de Milne sobre esquemas de grupos afines, aunque mi contexto es solo el del álgebra conmutativa. Mi primera idea fue probar directamente la inyectividad y la sobreyectividad, pero estoy completamente atascado. ¿Alguien puede darme algunos consejos sobre cuál es el camino correcto a seguir?

Respuestas (1)

Automorfismo del producto tensorial de álgebras de Hopf

Yuan Qiaochu · Answer 1

Quieres escribir un inverso explícitamente usando las otras operaciones.

Desde $A$ es conmutativo $G = \text{Spec } A$ es un esquema de grupo afín, por lo que podemos pensar en este mapa en términos del mapa dual $G \times G \to G \times G$ de esquemas de grupos afines, que es más fácil de pensar. Su acción sobre un par de $S$ -puntos $g, h : A \to S$ de $G(S)$ , para cualquier $R$ -álgebra $S$ , envía $(g, h) \in G(S) \times G(S)$ a algún otro par de puntos en $G(S) \times G(S)$ , que podemos calcular restringiendo el mapa dado a la primera y luego a la segunda copia de $A$ . Restringiendo a la primera copia da

a \mapsto (a \otimes 1) Δ (1) = a \otimes 1

$a \mapsto (a \otimes 1) \Delta(1) = a \otimes 1$

lo que revela que el primer componente de nuestro mapa es $(g, h) \mapsto g$ . Restringiendo a la segunda copia da

b \mapsto (1 \otimes 1) Δ (b) = Δ (b)

$b \mapsto (1 \otimes 1) \Delta(b) = \Delta(b)$

lo que revela que el segundo componente de nuestro mapa es $(g, h) \mapsto gh$ . En conjunto, nuestro mapa es

GRAMO (S) \times GRAMO (S) ∋ (gramo, h) \mapsto (gramo, gramo h) \in GRAMO (S) \times GRAMO (S) .

$G(S) \times G(S) \ni (g, h) \mapsto (g, gh) \in G(S) \times G(S).$

Esto es mucho más fácil de pensar: su inversa es simplemente $(g, h) \mapsto (g, g^{-1} h)$ .

¡Gracias! Ya había comenzado a recorrer este camino y encontré el mismo inverso, aunque en realidad no pude probar que de hecho fuera el inverso. No estoy acostumbrado a esquemas de grupos afines, así que utilicé la terminología de la teoría de categorías (transformaciones naturales, etc.), pero supongo que es lo mismo
@Avenavolo: lo bueno de trabajar en términos de funtores de puntos es que basta con verificar que el inverso es realmente un inverso en todos los puntos, por lo que básicamente está haciendo el mismo cálculo que haría en un grupo ordinario.
¿Es posible calcular explícitamente el inverso en el contexto de los morfismos de $R$ álgebras? Porque si bien la idea es clara para mí, definitivamente no estoy acostumbrado a los esquemas de grupos, por lo que no sé cómo probar el resultado usando solo lo que sé. ¡Muchas gracias por la ayuda!
@Avenavolo: puedes traducir el mapa $(g, h) \mapsto (g, g^{-1} h)$ volver a un mapa $A \otimes_R A \to A \otimes_R A$ . No hice esto porque es un poco molesto. Se determina por la propiedad que su restricción a la primera copia de $A$ es $a \mapsto a \otimes 1$ y su restricción a la segunda copia de $A$ es $b \mapsto (S \otimes \text{id}_A) \circ \Delta(b)$ (esta es la parte molesta). Así que en total el mapa es $a \otimes b \mapsto (a \otimes 1) \left( (S \otimes \text{id}_A) \circ \Delta(b) \right)$ . La prueba de que esto es realmente lo contrario en este idioma también es molesta.

Automorfismo del producto tensorial de álgebras de Hopf

Avenavolo

Respuestas (1)

Yuan Qiaochu

Avenavolo

Yuan Qiaochu

Avenavolo

Yuan Qiaochu

Dado un conjunto GGG, ¿cómo mostramos que es una base de Gröbner de un ideal III?

Caracterizaciones equivalentes de anillos de valoración discretos

Propiedad conmutativa de la suma de anillos.

Cocientes unidimensionales de anillos de series de potencias formales

Pregunta básica sobre la categoría CRing

Dado un diagrama conmutativo, demuestre que δδ\delta es isomorfismo

Pregunta básica sobre campos finitos y característica.

Encontrar el núcleo del homomorfismo de anillos polinómicos

¿Son sobreyectivos los epimorfismos entre anillos completos locales noetherianos (en su categoría)?

¿Cómo probar que la sucesión es regular?