Propagador del bosón de norma

El propagador de un campo vectorial arbitrario es [ref.1]

$$\begin{equation} \langle A_\mu A_\nu\rangle=\frac{-\eta_{\mu\nu}+p_\mu p_\nu/m_1^2}{p^2-m_1^2}-\frac{p_\mu p_\nu/m_1^2}{p^2-m_0^2}\tag1 \end{equation}$$ por un par de masas $m_0,m_1$. Este propagador suele llamarse propagador de Stückelberg, y $A_\mu$un campo de Stückelberg.

El campo de Stückelberg corresponde a una representación irreducible del grupo de Lorentz, pero corresponde a una representación reducible del grupo ortogonal, dado por la descomposición$A=(j=0)\oplus(j=1)$. En otras palabras, un campo típico de Stückelberg crea tanto espín$j=0$y$j=1$partículas

Esto se puede ver fácilmente en el propio propagador: tiene dos polos, en$p^2=m_0^2$y$p^2=m_1^2$, Lo que significa que$A_\mu$crea dos partículas, con masas$m_0$y$m_1$. Por lo tanto, la descomposición correcta es la siguiente:

$$\begin{equation} \underbrace{\frac{-\eta_{\mu\nu}+p_\mu p_\nu/m_1^2}{p^2-m_1^2}}_{\text{spin $j=1$}}-\underbrace{\frac{p_\mu p_\nu/m_1^2}{p^2-m_0^2}}_{\text{spin $j=0$}}\tag2 \end{equation}$$

En otras palabras, el papel está mal . El propagador de la$W$el bosón ya es el propagador de un espín$j=1$campo, y no hay necesidad de descomponerlo más: ya es irreducible tal como está:

$$\begin{equation} \langle W_\mu W_\nu\rangle=\frac{-\eta_{\mu\nu}+p_\mu p_\nu/m_W^2}{p^2-m_W^2}\equiv\text{spin $j=1$ propagator}\tag3 \end{equation}$$

La estructura

$$\begin{equation} \frac{q_{\mu}q_{\nu}}{q^2}\left(1-\frac{q^2}{m_W^2}\right)\tag4 \end{equation}$$ no se identifica con un giro $j=0$partícula. De hecho, una partícula escalar tiene $$\begin{equation} \langle \phi \phi\rangle=\frac{1}{p^2-m_0^2}\tag5 \end{equation}$$ o, tomando dos derivadas, $$\begin{equation} \langle \partial_\mu\phi \partial_\nu\phi\rangle=\frac{p_\mu p_\nu}{p^2-m_0^2}\tag6 \end{equation}$$ de acuerdo con $(2)$(el factor de $1/m_1^2$se debe al hecho de que $\partial_\mu\phi$, la parte escalar de $A_\mu$, normalmente no se normaliza canónicamente).

Del mismo modo, la estructura

$$\begin{equation} \left( -g_{\mu \nu}+\frac{q_{\mu}q_{\nu}}{q^2}\right)\tag7 \end{equation}$$ no se identifica con un giro $j=1$partícula. De hecho, si tomamos el límite $m_0,m_1\to 0$del propagador de Stückelberg manteniendo $\xi=m_0^2/m_1^2$arreglado, obtenemos $$\begin{equation} \langle A_\mu A_\nu\rangle\to \frac{-\eta_{\mu\nu}+(1-\xi)p_\mu p_\nu/p^2}{p^2}\tag8 \end{equation}$$ donde el giro $j=1$y $j=0$las partículas se han mezclado en un solo término. La estructura mencionada en el documento se obtiene tomando además $\xi=0$, conocido como ancho de Landau. Esta estructura claramente no es la estructura de un espín puro. $j=1$partícula, pero contiene un espín $j=0$parte.

En resumen: las estructuras que el artículo afirma corresponder al espín$j=0$y$j=1$son incorrectos. Las estructuras correctas son las dadas por$(2)$.

Referencias

1. Teoría cuántica de campos , de Itzykson y Zuber.