¿Cómo cambiará SR EM Lagrangian si encontramos una carga magnética?

En ausencia de monopolos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell son

$$\begin{align} \text d F &= 0 ,\\ \text d{\star F} &= J_e , \end{align}$$

dónde$J$es la forma 3 de 4 corrientes debido a las cargas eléctricas (suponiendo una métrica con firma$(-,+,+,+)$). Por razones cohomológicas, a partir de la primera ecuación se puede afirmar que existe una forma 1$A$tal que$F = \text d A$, y$A$es el interpretado como el 4-potencial$(\phi,\mathbf A)$(hasta el isomorfismo musical entre fibra tangente y cotangente al espacio-tiempo de Minkowski). En presencia de monopolos magnéticos (o carga, para incluso simetrizar la terminología), las ecuaciones anteriores se convertirían en

$$\begin{align} \text d F &= J_m ,\\ \text d{\star F} &= J_e , \end{align}$$

dónde$J_m$es la corriente 4 para cargas magnéticas. Por lo tanto, en esta teoría extendida de la electrodinámica tanto el tensor de Faraday$F$y su doble hodge$\star F$(a veces también denotado por$G$) figura en ecuaciones constitutivas.

Ya que$F$ya no es una forma cerrada, su expresión debe ser modificada por la introducción de una parte no exacta, digamos$C$, de modo que

$$F = \text d A + C.$$

Como las ecuaciones son simétricas en$F$y$\star F$podemos postular que existen 1-formas$B$y$D$tal que

$$\star F = \text d B + D,$$

y supongamos que$C$depende de$B$, tiempo$D$depende de$A$. Pero desde$\star\star = -1$en relatividad especial, concluimos que

$$F = \text dA - \star\text dB,$$

que se puede relacionar con la descomposición de Helmholtz en parte polar y axial para campos vectoriales dos veces diferenciables.

La fuerza de Lorentz para una partícula con carga eléctrica$q_e$y carga magnética$q_m$sería

$$K = \iota_u(q_e F + q_m G),$$ dónde $u$es el vector de 4 velocidades de la partícula y $\iota$denota el producto interior. El término adicional se puede reproducir con un Lagrangiano que contenga el término adicional $B_\mu u^\mu$.

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Para hacer contacto con la notación vectorial habitual, observe que el tensor de Faraday tiene la representación de matriz covariante

$$F = \begin{bmatrix}0&-~\mathbf E^T\\\mathbf E&\star\mathbf H\end{bmatrix}$$ dónde $\star\mathbf H$es el dual de Hodge del campo magnético $\mathbf H$, y puede pensarse como el mapa lineal $(\star\mathbf H)\mathbf v = \mathbf v\times\mathbf H$para cualquier $\mathbf v\in\mathbb R^3$. Los tensores sesgados simétricos como el anterior se representan mediante un vector polar $\mathbf E$y un vector axial $\mathbf H$, y se puede denotar como $F=(\mathbf E,\mathbf H)$. Habiendo definido esta notación, la acción del dual de Hodge es entonces $\star(\mathbf E,\mathbf H) = (\mathbf H,-\mathbf E)$(hasta una señal que no puedo molestarme en recordar). La derivada exterior de la corriente 4 $A$es un tensor de la forma anterior, y resulta que $$\text dA = \left(\nabla A^0+\frac{\partial\mathbf A}{\partial t},\nabla\times\mathbf A\right),$$ donde la primera componente es la parte polar y la segunda es la parte axial. Por lo tanto, sin cargas magnéticas, recuperamos los campos eléctricos y magnéticos. Ahora para el potencial extra $B=(B^0,\mathbf B)$tenemos, usando la regla para el dual de Hodge discutida unas pocas líneas arriba, $$\star\text dB = \left(\nabla\times\mathbf B, - \nabla B^0 - \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right)$$ Comente aquí$\mathbf B$es un vector de potencial adicional, que no debe confundirse con la inducción magnética.

Reconstruyendo el tensor de Faraday según la prescripción$F=\text dA - \star\text dB$dado arriba tenemos entonces, en términos de partes polares y axiales

$$F = \left(\nabla A^0 + \frac{\partial\mathbf A}{\partial t} - \nabla\times\mathbf B, \nabla\times\mathbf A + \nabla B^0+\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right),$$ De dónde $$\mathbf E = \nabla A^0 + \frac{\partial\mathbf A}{\partial t} - \nabla\times\mathbf B$$ y $$\mathbf H = \nabla\times\mathbf A + \nabla B^0 + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}.$$