Así que la mejor manera de ver esto es que vas a derivar$\vec A(\vec x, t)$de las ecuaciones que desee, en primer lugar. Así que tenemos que empezar con las ecuaciones que queremos.

¿Qué ecuaciones queremos?

Las ecuaciones de Maxwell son:

$$\begin{array}{ll} \nabla\cdot E=\rho/\epsilon_0 & ~~~\nabla \times E = -\dot B\\ \nabla\cdot B = 0 &~~~ \nabla \times B =\mu_0 J + \mu_0\epsilon_0 \dot E \end{array}$$ Y nuestra idea es que vemos $\nabla\cdot B = 0$y sabemos que esto significa $B = \nabla\times A$para algunos $A$. ahora mirando $\nabla \times E = -\nabla \times \dot A$vemos que en realidad $\nabla \times (E + \dot A) = 0$lo que significa que también debe haber un potencial escalar $E + \dot A = -\nabla \phi$para algunos $\phi$.

Ahora nos preguntamos, "¿en qué medida fue esa elección de$A, \phi$libres, y hasta qué punto estábamos constreñidos?" Y la respuesta es que tenemos que preservar los campos$E$y$B$. Sabemos que preservamos$B$si añadimos alguno$\nabla \psi$a$A$porque el rotacional de un gradiente es cero. Pero, ¿qué le hace eso a nuestra ecuación para$E$? Nos da$E + \dot A + \nabla \dot\psi = -\nabla \phi.$Conclusión: podemos añadir cualquier$\nabla \psi$a$A$pero solo si también restamos$\dot \psi$a$\phi$, para que conservemos$E$también.

Esta capacidad de agregar$\psi$se denomina libertad de calibre y es análoga a tener libertad para elegir una constante de integración;$A$y$\phi$son en cierto sentido integraciones de$E$y$B$.

Ahora tenemos dos ecuaciones más arriba que no hemos garantizado automáticamente por la construcción anterior. usando la identidad$\nabla \times (\nabla \times X) = \nabla (\nabla \cdot X) - \nabla^2 X$podemos simplificarlos considerablemente.

$$-\nabla^2 \phi - \nabla \cdot \dot A = \rho/\epsilon_0, \\ \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^2 A =\mu_0 J - \mu_0\epsilon_0 \big(\nabla \dot \phi + \ddot A\big).$$ Lo primero que vemos es la aparición de algún operador $\Box X = \mu_0\epsilon_0 \ddot X - \nabla^2 X,$y lo siguiente es una especie de campo potencial $\lambda = \nabla \cdot A + \mu_0 \epsilon_0 \dot \phi.$La combinación de estos en las dos ecuaciones anteriores da: $$\Box \phi = \rho/\epsilon_0 + \dot \lambda, \\ \Box A =\mu_0 J - \nabla \lambda.$$ Bien, ¿recuerdas lo que dije sobre la libertad de calibre? Podemos agregar $\nabla \psi$a $A$si también restamos $\dot\psi$de $\phi$? ¿Qué le hace eso a $\lambda$como se define arriba? Cambia $\lambda\to\lambda - \Box\psi.$Resulta que esto garantiza exactamente que las ecuaciones no cambien ( Ejercicio : prueba esto, luego reflexiona sobre por qué tiene que ser cierto).

Podemos usar esto efectivamente para reemplazar$\lambda$con lo que queramos. Por ejemplo, en el indicador de Coulomb, primero podemos imaginar que resolvemos para algunos arbitrarios$\phi(\vec x,~ t)$y algunos arbitrarios$\vec A(\vec x,~ t),$entonces$\lambda(\vec x,~t)$es un lío complicado. Pero si primero resolvemos$\Box \psi = \lambda - \mu_0 \epsilon_0 \dot \phi$los mapas de transformación de calibre resultantes$\lambda \to \mu_0 \epsilon_0 \dot\phi$y la ecuación anterior se convierte en$-\nabla^2 \phi = \rho/\epsilon_0,$resuelto con el potencial de Coulomb estándar (por lo tanto, esta elección se conoce como el calibre de Coulomb ). Puede objetar que esto crea una acción instantánea a distancia, pero recuerde que$E$no es $-\nabla \phi$en general; es$-\nabla\phi - \dot A.$La acción instantánea a distancia en$\phi$se equilibra con la acción instantánea a distancia en$A$para mantener los campos bien.

Entonces, las "ecuaciones que queremos" contienen explícitamente esta no acción a distancia y vienen cuando resolvemos$\Box \psi = \lambda$transformar calibre$\lambda\to 0.$De hecho, las dos ecuaciones se combinan en una expresión de "cuatro vectores":$\Box (\phi/c,~ A) = \mu_0 (c \rho, ~ J).$Y esas son las ecuaciones que queremos. (En la universidad me tomó mucho tiempo lidiar con la pregunta "¿qué sucede si las ecuaciones de movimiento llevan el sistema a un estado diferente?"$\lambda$?", que resulta ser una pregunta sin sentido. Recuerde que estamos resolviendo los campos en todo momento ).

Tenga en cuenta que este último paso de elegir el indicador básicamente dice "siempre puede hacer esto", pero no lo construye del todo: nuestro procedimiento en este momento es muy bueno para la teoría analítica pero muy torpe para la teoría práctica: "encontrar el campos, adivina algunos$A$, averiguar algunos$\phi$, calcular$\lambda$, resolver para el$\psi$de tus sueños, usa eso para corregir$A$y$\phi$cuya ecuación ya no tendrá$\lambda:$hurra, por fin estás en un lugar matemáticamente bonito". Queremos darle la vuelta a este proceso: "toma tu$\rho, J,$calcular el derecho$\phi, A$en este lugar matemáticamente bonito, ahora úsalo para obtener el derecho$E, B$." ¡Entonces nos convertimos en una máquina teórica pobre y mezquina!

Ahora, ¿cómo resolvemos estas ecuaciones?

Vale, sabemos que en el espacio 3D podemos resolver expresiones de la forma$\nabla^2 \alpha = -\beta$por la solución que proporcionaste ,

$$\alpha(\vec r) = \frac{1}{4\pi} ~ \int_V d^3 r' ~\frac{\beta(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} = \int d^3 r' ~\eta(\vec r, \vec r').$$ Hay una buena manera de interpretar esto en términos de Dirac. $\delta$-funciones llamadas el enfoque de "funciones de Green"; esto dice que nuestra ecuación fuente implica un operador diferencial lineal y, por lo tanto, obedece el principio de superposición, de modo que si conoce su respuesta a un estímulo en cualquier punto, $\beta = \delta_3(\vec r - \vec r')$es la llamada "función de Green" $\alpha = f(\vec r, \vec r')$, entonces el controlador real es solo una superposición $\beta(\vec r) = \int d^3r' ~\delta_3(\vec r - \vec r') \beta(\vec r'),$y por lo tanto por linealidad la solución general es la superposición ponderada de estas "funciones de Green", $\int d^3r~\beta(\vec r')~f(\vec r, \vec r').$

Entonces la función dada$-1/({4\pi|\vec r - \vec r'|})$es el$\alpha$tu calculas cuando$\beta(\vec r) = \delta_3(\vec r - \vec r')$es el Dirac 3D$\delta$-función. Puedes ver esto reconociendo el Laplaciano como la divergencia de un gradiente; esto describe un campo cuya divergencia es 0 excepto en un punto$\vec r'$donde la divergencia repentinamente aumenta al infinito de tal manera que la integral de superficie que limita el punto es 1. Sabemos que eso requiere un campo de cuadrado inverso que va como$(\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|^3$y vemos que ese tipo de cosas saldría como el gradiente de$1/|\vec r - \vec r'|,$y el$4 \pi$proviene del hecho de que el área superficial de la esfera es naturalmente$4 \pi r^2$.

Así que ahora llegamos a la idea de$\Box = c^{-2} \partial_t^2 - \nabla^2$y queremos hacer lo mismo, pero sabemos que$\Box \alpha = 0$se resuelve mediante una superposición de ondas viajeras,$\alpha(\vec r, t) = \sum_i f_i(\vec r - \vec u_i~t)$donde para todos$i$lo sabemos$|\vec u_i| = c.$Si imaginamos un$\delta$-función en el espacio y el tiempo, imaginamos que tendría que producir una capa esférica propagándose en todas las direcciones, atenuando a medida que avanza, por lo que suponemos algo así como$\alpha(\vec r, t) = \delta(t - t' - |\vec r - \vec r'|/c) / (4 \pi |\vec r - \vec r'|).$

Esta suposición resulta ser exactamente correcta, por lo que la solución general es la superposición sobre ambas coordenadas:

$$\alpha(\vec r, t) = \int dt' ~\int d^3 r'~ \delta\left(t - t' - \frac{|\vec r - \vec r'|}c\right)~\frac{\beta(\vec r', t')}{4\pi|\vec r - \vec r'|}.$$ Realizando la integral sobre $t'$puedes usar la definición de $\delta$-función para reemplazar t' con $t - |\vec r - \vec r'|/c$, tu expresión anterior.

Alternativamente, simplemente aplique$\Box$a tu expresión. Este es el método de "adivinar y verificar" para resolver una ecuación; Te he dado la función de Green por lo que debes adivinar esta expresión como la solución a la ecuación; ahora todo lo que tienes que hacer es verificarlo y si es correcto, ¡entonces es correcto!

Para esto, simplemente está haciendo una divergencia de un gradiente, donde es útil saber que$\nabla$obedece la regla del producto normal para derivados con$\nabla f\big(|\vec r - \vec r'|\big) = f'\big(|\vec r - \vec r'|\big) ~ (\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|.$Tenemos que decir con mucho cuidado que$\dot \beta$es la derivada de$\beta$con respecto a su segundo argumento general que llamaremos$\tau$para abreviar. Así que empiezas con:

$$\nabla \left(\frac{\beta(\vec r', \tau)}{4\pi|\vec r - \vec r'|}\right) = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|} \left(\frac{\dot \beta(\vec r', \tau)}{4\pi|\vec r - \vec r'|} - \frac{\beta(\vec r', \tau)}{4\pi|\vec r - \vec r'|^2}\right),$$ y luego hacer lo mismo con la divergencia.