Promedio condicional de un campo en física: ⟨Ψ⟩iij=⟨Ψ⟩ii⟨Ψ⟩iji=⟨Ψ⟩ii\langle \Psi \rangle_{ij}^i = \langle \Psi \rangle_i^i

Estaba leyendo este artículo sobre la aproximación cuasicristalina (QCA) . El resumen del artículo dice lo siguiente:

Lax introdujo por primera vez la aproximación cuasicristalina (QCA) para romper la jerarquía infinita de ecuaciones que da como resultado estudios del campo coherente en medios aleatorios discretos. Simplemente establece que el promedio condicional de un campo con la posición de un dispersor mantenida fija es igual al promedio condicional con dos dispersores mantenidos fijos, es decir,$\langle \Psi \rangle_{ij}^i = \langle \Psi \rangle_i^i$.

alguien me puede explicar las matematicas$\langle \Psi \rangle_{ij}^i = \langle \Psi \rangle_i^i$? En el contexto de la mecánica cuántica, suelo interpretar los paréntesis$\langle$y$\rangle$para relacionarse con la notación bra-ket (productos internos en el espacio de Hilbert), pero parece que se usan de manera diferente en este contexto (¿quizás con algún propósito de promedio condicional?). Además, normalmente interpretaría los subíndices y los superíndices como referencias a la notación tensorial (como la notación de suma de Einstein), pero no me queda claro qué significa en este contexto (me pregunto si los subíndices se refieren al condicionamiento con respecto a algunos valores, o algo similar?).

Agradecería mucho que la gente se tomara el tiempo de explicar esto.