Producto cruzado en espacios vectoriales complejos

Para encontrar la definición correcta a aplicar, se necesita saber si el producto escalar se considera antilineal en su primer o segundo argumento. Asumiendo la primera convención, la relación que uno querría preservar para$\vec x=(x_1,x_2,x_3)$y de manera similar para$\vec y, \vec z$, que todavía tiene

$$(\vec x \times \vec y)\cdot\vec z= \left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\\\end{matrix} \right|.$$ Tenga en cuenta que el determinante es lineal en todas sus columnas, por lo que el lado izquierdo debe ser una expresión que sea lineal en el vector que aparece directamente como una columna, lo que explica que no se puede usar $\vec x\cdot(\vec y\times\vec z)$en cambio, que es antilineal en $\vec x$. Ahora es fácil ver que las coordenadas de $\vec x \times \vec y$deben tomarse como los conjugados complejos de las expresiones en su definición habitual, por ejemplo $\overline{x_2y_3-x_3y_2}$para la primera coordenada.

De hecho, se llega a la misma conclusión para un producto escalar que se define como antilineal en su segundo argumento. Sin embargo, la identidad que conduce a esta definición es diferente, a saber, la que iguala$\vec x\cdot(\vec y\times\vec z)$al determinante anterior.

Sí, esta es la definición correcta. Si$v$,$w$son vectores perpendiculares en$\Bbb C^3$(según el producto hermitiano) entonces$v,w,v\times w$formar matriz en$SU_3$.

Podemos definir productos cruzados complejos usando la multiplicación octonion (y viceversa). Usemos la fórmula de Cayley-Dickson dos veces:

$$(a+b^\iota)(c+d^\iota)=ac-\bar db+(b\bar c+da)^\iota$$ para cuaterniones $a,b,c,d$. siguiente conjunto $a=u\mathbf j, b=v+w\mathbf j, c=x\mathbf j, d=y+z\mathbf j$para números complejos $u,v,w,x,y,z$. Entonces obtenemos de la fórmula anterior $$-u\bar x-v\bar y-\bar w z+(\bar vz-w\bar y)\mathbf j+[w\bar x-\bar uz+(-vx+uy)\mathbf j]^\iota$$ Aplicando la conjugación compleja a la tercera coordenada compleja obtenemos la fórmula para el producto cruzado. El primer término es producto hermitiano de los vectores $(u,v,w)$, $(x,y,z)$. $$\begin {bmatrix}u\\ v \\ w \end{bmatrix}\times \begin {bmatrix}x\\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin {bmatrix}\overline {vz}-\overline{wy}\\ \overline{wx}-\overline{uz} \\ \overline{uy}-\overline{vx} \end{bmatrix}$$

$SU_3$es un subgrupo del grupo de automorfismos octonion$G_2$. Cualquier automorfismo de octoniones se puede obtener fijando el vector unitario$\mathbf i$en esfera imaginaria$S^6$. Define estructura compleja en el espacio perpendicular$R^6$a través de la multiplicación. Ahora bien, en esta estructura compleja cualquier$SU_3$elemento es el automorfismo octonion. Entonces$G_2$es un haz de fibras$S^6 \times \times SU_3$.

Ahora vamos a "viceversa". Definamos octoniones como pares$(a,\mathbf v)$dónde$a$es numero complejo y$\mathbf v$vector en$\Bbb C^3$. Entonces la multiplicación de octoniones se puede definir como

$$(a,\mathbf v)(b,\mathbf w)=(ab-\mathbf {v\cdot w},a\mathbf w+b \mathbf v + \mathbf {v \times w})$$ Espero que el argumento anterior con la fórmula doble de Cayley-Dickson pueda usarse para probarlo, aunque no he hecho este cálculo yo mismo. Se insta al lector a hacerlo a modo de ejercicio :)

Podemos extender la definición de producto cruz a cuaterniones de la misma manera. Al extenderlo a los octoniones, debemos ser más cuidadosos. Freudenthal ha hecho esto utilizando matrices de 3x3 sobre octoniones, lo que se conoce como álgebra de Jordan. Algún tipo de "producto cruzado" está presente en todos los grupos de Lie excepcionales$F_4$,$E_6$,$E_7$,$E_8$como estos grupos son llamados por Rosenfeld como grupos de automorfismos de planos proyectivos bidimensionales sobre$\Bbb {O,C\otimes O, H \otimes O, O \otimes O}$. ¿He volado demasiado lejos de la pregunta original?

Los físicos tienden a usar las "fórmulas reales" (no conjugadas) tanto para el producto punto como para el producto cruzado . Así que el producto escalar de los físicos es igual$\vec x\cdot \vec y = \vec x^T \vec y$, aunque su producto interior es$\langle\vec x,\vec y\rangle=\vec x^H \vec y$(o$\left\langle \vec x|\vec y \right\rangle$), dónde$\vec x^H = \mathrm{conj}(\vec x)^T$(la transposición con elementos complejos conjugados).

Por lo general, los físicos escriben$\vec x^\dagger$en lugar de$\vec x^H$, mientras que los matemáticos pueden escribir$\vec x^*$para$\vec x^H$(alternativamente, para el conjugado de$\vec x$, razón por la cual utilizo aquí la notación hermítica$\vec x^H$, para evitar ambigüedades).

Los productos punto y cruz no conjugados son la práctica estándar, por ejemplo, en casi todos los libros sobre electromagnetismo . Tenga en cuenta también que los físicos, los matemáticos modernos y casi todos los demás tienden a conjugar el primer elemento en sus productos internos , como se indicó anteriormente, excepto que los matemáticos de la vieja escuela suelen usar el segundo elemento , según Wikipedia, Nota 2: https://en. wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Notas

Sin embargo, la siguiente página de Wikipedia afirma que la linealidad en la primera coordenada es [todavía] la condición prevaleciente en las matemáticas (no solo en la vieja escuela), y usa$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$por eso y$\left\langle \cdot |\cdot \right\rangle$para linealidad en el segundo argumento: https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem#Mathematics_vs._physics_notations_and_definitions_of_inner_product

En cualquier caso, los físicos obtienen la siguiente fórmula:

$$(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z= \left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\\\end{matrix} \right|.$$

Los matemáticos tienden a tener un producto escalar igual al producto interno , es decir,$\vec x\cdot \vec y = \langle\vec x,\vec y\rangle=\vec x^H \vec y$para los matemáticos modernos , y$=\vec y^H \vec x$para los matemáticos de la vieja escuela . (Tenga en cuenta el orden de salto de la vieja escuela que hace que sus productos de puntos sean lineales con respecto a sus primeros argumentos y lineales conjugados con respecto a los segundos).

Por lo tanto, los matemáticos tienden a definir cruz$(x,y)=$conj(cruz física$(x,y))$, es decir,

$$\vec x \times \vec y = \left[\begin{matrix}\overline{x_2y_3-x_3y_2}\\ \overline{x_3y_1 - x_1y_3}\\ \overline{x_1y_2-x_2y_1}\\ \end{matrix} \right]$$ (los símbolos superpuestos denotan una conjugación compleja; elimínelos para el producto cruzado de los físicos) para preservar la fórmula (si se conjuga el primer argumento de los productos escalares) $$(\vec x \times \vec y)\cdot\vec z= \left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\\\end{matrix} \right|.$$ Los matemáticos de la vieja escuela tienen, en cambio,$\vec x \cdot (\vec y\times\vec z)=|\cdots|$, ya que su producto punto (conjugando el segundo argumento) conjuga el último elemento, cancelando así la conjugación en el producto cruzado de esta manera.

Las fórmulas de los físicos (no conjugadas) se pueden encontrar, por ejemplo, aquí (cerrado): https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/002073999287815

Matlab, Maple y Mathematica

Matlab utiliza las fórmulas de los matemáticos modernos para el producto escalar, es decir, conjuga el primer elemento: punto$(x,y)=x^Hy$(enlace https://se.mathworks.com/help/matlab/ref/dot.html ); pero usa las fórmulas de los físicos (no conjugadas) para el producto cruz: cruz$(x,y)$no implica la conjugación de la salida.

Así, en Matlab, dot(i,1) = -i, cross([0,i,0],[0,0,1]) = (+i, 0, 0).
Por lo tanto,$(\vec x \times \vec y)\cdot\vec z \ne |\cdots|$en Matlab.

Mathematica no conjuga ninguno. Maple conjuga el producto escalar (aunque tiene la opción de no conjugarlo) pero no el producto cruzado. https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LinearAlgebra/DotProduct https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LinearAlgebra/CrossProduct

Supongo que Scilab no se conjuga. Es de esperar que alguien certifique / corrija este párrafo.

Esta respuesta se basa en la respuesta de Marc van Leeuwen en esta misma página.