¿Cómo calcular el determinante de una matriz con vectores unitarios le da el Producto Cruzado?

El determinante de un$3\times3$La matriz se puede ver como el triple producto de sus columnas (o filas):

$$\begin{align} \det\begin{bmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} (x\times y)_1\\ (x\times y)_2\\ (x\times y)_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix}\tag{1} \end{align}$$ si reemplazamos $\begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix}$en $(1)$por $\begin{bmatrix} \boldsymbol{i}\\ \boldsymbol{j}\\ \boldsymbol{k} \end{bmatrix}$, obtenemos $$\begin{align} \det\begin{bmatrix} x_1&y_1&\boldsymbol{i}\\ x_2&y_2&\boldsymbol{j}\\ x_3&y_3&\boldsymbol{k} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} (x\times y)_1\\ (x\times y)_2\\ (x\times y)_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \boldsymbol{i}\\ \boldsymbol{j}\\ \boldsymbol{k} \end{bmatrix}\\[6pt] &=(x\times y)_1\boldsymbol{i}+(x\times y)_2\boldsymbol{j}+(x\times y)_3\boldsymbol{k}\\[18pt] &=x\times y\tag{2} \end{align}$$

Y el resultado sería tu Producto Cruzado o las coordenadas de un vector ortogonal. Mi pregunta es ¿por qué? ¿Por qué formarlo de esa manera te da la magnitud de un vector ortogonal?

Su última ecuación se puede escribir como

$$(a \times b)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \quad (1)$$ dónde $\epsilon_{ijk}$es el tensor asimétrico o Levi-Civita y se usa la convención de suma de Einstein (sumamos sobre los mismos índices, aquí: $j$y $k$, cada uno de $1$a $3$).

Si la tupla$(i,j,k)$consta de diferentes números de$\{1, 2, 3\}$, por lo que es una permutación de$(1,2,3)$, se define como signo de la permutación$\pm1$, de lo contrario desaparece.

Así que lo anterior es la notación compacta para

$$\begin{align} (a \times b)_1 &= \epsilon_{123} a_2 b_3 + \epsilon_{132} a_3 b_2 = a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ (a \times b)_2 &= \epsilon_{231} a_3 b_1 + \epsilon_{213} a_1 b_3 = a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ (a \times b)_3 &= \epsilon_{312} a_1 b_2 + \epsilon_{321} a_2 b_1 = a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{align}$$

Compare esto con la definición del determinante , que es una forma multilineal alterna en su$n$argumentos:

$$\det A = \det(a_1, \dotsc, a_n) = \epsilon_{i_1 i_2 \dotsm i_n} a_{1 i_1} a_{2 i_2} \dotsm a_{n i_n} \quad (2)$$ Es la suma con signo de todas las permutaciones de los componentes.

Así que en efecto sucede que

$$\det(e_i, a, b) = e_i \cdot (a \times b) = (a \times b)_i \quad (3)$$ dónde $e_i$es el $i$-ésimo vector de base canónica $$\begin{align} e_1 = (1, 0, 0)^T \\ e_2 = (0, 1, 0)^T \\ e_3 = (0, 0, 1)^T \end{align}$$

La forma que usaste emplea la regla de Sarrus para calcular el determinante, que se cumple solo para tres dimensiones. Ecuación$(2)$se cumple para una dimensión arbitraria.

La definición del producto vectorial, ecuación.$(1)$, consiste en sumas firmadas de permutaciones de los componentes del vector involucrados y la definición del determinante$(2)$también hace uso de la suma firmada de permutaciones de los componentes de su argumento. Así sucede que se puede definir un producto vectorial como determinante.

y como se relaciona con el$\sin(\theta)$definición de Producto Cruzado.

probablemente te refieres

$$\lVert a \times b \rVert = \lVert a \rVert \lVert b \rVert \sin\angle(a, b) \quad (4)$$ Esto se deriva del triple producto $$a \cdot (b \times c) = \det(a, b, c)$$ que se puede expresar como determinante, lo usamos arriba con el $i$-ésimo vector base canónico para la ecuación $(3)$. El determinante da el volumen del paralelepípedo (piense en la torre de Pisa para una pila de cartas) formado por los vectores $a, b, c$.

De esto se puede derivar la ecuación$(4)$.

Mirando el cálculo desde el ángulo recto, lo que calcula es un nuevo vector en el espacio dual , tal que$\vec a \times \vec b$mapas de cualquier vector$\vec c$a$\mathbb R$(o$\mathbb C$), de manera que$\det(\vec c, \vec a,\vec b)=(\vec a\times\vec b)\cdot \vec c$.

Puedes ver esto reemplazando$(i,j,k)$por$(c_1, c_2, c_3)$. Todo lo demás se sigue de las propiedades de$\det$.

Especialmente$\vec a\times\vec b$es ortogonal a$\vec a$porque$\det(\vec a, \vec a, \vec b)=0$, similar para$\vec b$.

Si comienza con la definición de producto cruzado como

$$\underline{a}\times\underline{b}=|\underline{a}||\underline{b}|\sin \theta \underline{\hat{n}},$$ dónde $\theta$es el ángulo entre $\underline{a}$y $\underline{b}$y $\underline{\hat{n}}$es el vector unitario perpendicular a $\underline{a}$y $\underline{b}$en el sentido de una tríada de la mano derecha 'entonces de esta definición se sigue que:

1. $\underline{i}\times\underline{j}=0=\underline{j}\times\underline{j}=\underline{k}\times\underline{k}$

2.$\underline{i}\times\underline{j}=\underline{k}$y$\underline{j}\times\underline{k}=\underline{i}$y$\underline{k}\times\underline{i}=\underline{j}$

3. Si las letras están en orden anticíclico , el resultado es correspondientemente negativo, así, por ejemplo,$\underline{j}\times\underline{i}=-\underline{k}$etcétera.

Por lo tanto, si asumimos la distributividad del producto cruzado (no demostrada aquí), entonces el producto cruzado de los dos vectores da exactamente el mismo resultado que se obtiene al evaluar el determinante.