Producto cruzado definido en RnRn\mathbb R^n

Question

Producto cruzado definido en RnRn\mathbb R^n

Matemáticas
producto cruzado
álgebra lineal

tyler6

Estoy en un curso introductorio de álgebra lineal y recientemente nos presentaron el producto cruz. He leído en línea y he escuchado de otros que el producto cruz se define en $\mathbb R^3$ solo. Sin embargo, cuando lo aprendimos, mi maestro nos dijo que está definido para cualquier espacio vectorial y no mencionó nada sobre solo en 3 dimensiones. La fórmula que aprendimos es esta:

Si $x_1,x_2,...,x_{n-1}$ son vectores en $\mathbb R^n$ , entonces su producto cruz

w = * (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{norte - 1})

$w=\ast(x_1,x_2,...,x_{n-1})$ Es caracterizado por

w^{T} x = det (x_{1} x_{2} . . . x_{n - 1} x)

$w^Tx=\det(x_1x_2...x_{n-1}x)$ , y se puede calcular sustituyendo

x

$x$ como

e_{i}

$e_i$ para

1 \leq i \leq n - 1

$1\le i\le {n-1}$ .

Me preguntaba, ¿es así como se define el producto cruzado real y la mayoría de la gente lo aprende solo para $\mathbb R^3$ , ¿o es mi maestro extendiendo la definición a un caso más general? He estado tratando de averiguar en línea, pero no he tenido suerte.

dave

Una forma de escribir el producto vectorial en

R^{3}

$\Bbb R^3$ es como el siguiente determinante

w \times v = det [\begin{matrix} {mi}_{1} & {mi}_{2} & {mi}_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]

$w\times v=\det\begin{bmatrix}e_1&e_2&e_3\\w_1&w_2&w_3\\v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}$ dónde

v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

$v=(v_1,v_2,v_3)$ y

w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})

$w=(w_1,w_2,w_3)$ , y por supuesto

e_{1}, e_{2}, e_{3}

$e_1,e_2,e_3$ son los vectores base estándar. Así que supongo que uno podría generalizar esto a

R^{n}

$\Bbb R^n$ .

gt6989b

@Dave, si escribes esto como respuesta, debería aceptarse legítimamente...

gato m

Michael Spivak en su libro de física dice que la razón por la que el producto vectorial solo tiene sentido en

R^{3}

$\mathbb R^3$ es porque

n = 3

$n=3$ es el único caso donde el grupo ortogonal en

R^{n}

$\mathbb R^n$ es de dimensión

n

$n$ .

luego

También hay productos cruzados unarios (multiplicación por

i

$i$ en un espacio de producto interno complejo reinterpretado como un espacio de producto interno real), productos cruzados co-unarios (un

(n - 1)

$(n-1)$ -operación aria en

R^{n}

$\Bbb R^n$ definido con la misma fórmula determinante, pero para un

n \times n

$n\times n$ matriz), un excepcional producto cruzado binario en siete dimensiones y un excepcional producto cruzado ternario en ocho dimensiones relacionado con la existencia de octoniones.

Respuestas (2)

Producto cruzado definido en RnRn\mathbb R^n

Una forma de escribir el producto vectorial en $\Bbb R^3$ es como el siguiente determinante $w \times v = det [\begin{matrix} {mi}_{1} & {mi}_{2} & {mi}_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]$ $w\times v=\det\begin{bmatrix}e_1&e_2&e_3\\w_1&w_2&w_3\\v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}$ dónde $v=(v_1,v_2,v_3)$ y $w=(w_1,w_2,w_3)$ , y por supuesto $e_1,e_2,e_3$ son los vectores base estándar. Así que supongo que uno podría generalizar esto a $\Bbb R^n$ .
@Dave, si escribes esto como respuesta, debería aceptarse legítimamente...
Michael Spivak en su libro de física dice que la razón por la que el producto vectorial solo tiene sentido en $\mathbb R^3$ es porque $n=3$ es el único caso donde el grupo ortogonal en $\mathbb R^n$ es de dimensión $n$ .
También hay productos cruzados unarios (multiplicación por $i$ en un espacio de producto interno complejo reinterpretado como un espacio de producto interno real), productos cruzados co-unarios (un $(n-1)$ -operación aria en $\Bbb R^n$ definido con la misma fórmula determinante, pero para un $n\times n$ matriz), un excepcional producto cruzado binario en siete dimensiones y un excepcional producto cruzado ternario en ocho dimensiones relacionado con la existencia de octoniones.

Marca · Answer 1

La siguiente es la razón por la que el producto vectorial se define en $3$ dimensiones solamente.

El problema con la definición del producto cruzado es que no es exactamente lo que crees que es. Si ha aprendido "la regla de la mano derecha", puede saber que para calcular un producto cruzado usted:

Barrer un avión con los dedos (Por $u\times v$ , el avión es sólo $\text{Span}(u,v)$ ).
Tome un vector perpendicular específico (la forma en que apunta su pulgar, no en la dirección opuesta).

Esto significa que podemos dividir la función "tomar un producto cruzado" en algunas subfunciones:

Dado dos $u,v$ encuentra el plano (orientado) $\text{Span}(u,v)$
Convierta únicamente de este plano orientado a un vector.

El paso 2 es lo que falla en general. Específicamente, dados dos vectores, siempre podemos formar lo que se conoce como un bivector (solo el plano orientado mencionado anteriormente). Esto es a través de una operación llamada producto exterior , que es muy similar al producto cruz en $\mathbb{R}^3$ . Entonces, queremos convertir este bivector en un vector para que $f(x,y) = x\times y$ es una función de vectores a vectores (en lugar de de vectores a "bivectores").

Esto se hace a través del Hodge Dual --- dada una $k$ -vector en $\mathbb{R}^n$ (por lo que un lapso orientado de $k$ vectores, no solo $2$ como con un bivector), esto da una forma natural de obtener un $n-k$ vector. Entonces, para un $2$ vector en $\mathbb{R}^3$ , obtenemos un $3-2 =1$ -vector, o un vector normal. El Hodge Dual es precisamente el proceso (generalizado) de usar la regla de la mano derecha, pero solo en $\mathbb{R}^3$ ¿Tenemos eso? $n - 2 = 1$ , devolviéndonos la conversión que queremos.

Entonces, tenemos una manera fácil de generalizar el producto vectorial a dimensiones más altas si estamos de acuerdo con tratar con "bivectores", y en general $k$ -vectores. Si no estamos dispuestos a hacer esto, se vuelve mucho más difícil (hay algunas rarezas como el producto cruzado de siete dimensiones , pero nada en general que funcione y evite el producto de cuña).

El producto cuña es esencialmente lo que su profesor ha definido para usted, por lo que será la generalización correcta (aunque la salida no será un "vector" a menos que mire el producto cuña de $k$ vectores tales que $n-k = 1$ , entonces $k = n-1$ vectores).

El campo que estudia esto se conoce como Álgebra Geométrica , si está interesado en aprender más.

david caña · Answer 2

Hay dos formas de definir el producto vectorial (en $\mathbb{R^3})$ . Ambos son equivalentes. La forma más fácil es definir, por $\mathbf a,\mathbf b \in \mathbb{R^3}$ :

a \times b := el vector único y teniendo magnitud ‖ y ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ pecado θ, dónde θ es el ángulo entre a y b y dirección dada por la regla de la mano derecha.

$\mathbf a \times \mathbf b := \text{ the unique vector } \mathbf y \text { having magnitude } \Vert \mathbf y \Vert = \Vert\mathbf a\Vert \Vert \mathbf b \Vert \sin \theta, \text{ where } \theta \text{ is the angle between } \mathbf a \text{ and } \mathbf b \text{ and direction given by the right-hand rule.}$

Esta definición define efectivamente el producto vectorial entre dos vectores como el vector que tiene una longitud igual al área del paralelogramo formado por ellos y tiene una dirección que es perpendicular a ambos.

Entonces se puede demostrar que en forma de componentes, si $\mathbf a = (a_1,a_2,a_3)$ y $\mathbf b = (b_1,b_2,b_3)$ , entonces

a \times b = det ([\begin{matrix} i & j & k \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}])

$\mathbf a \times \mathbf b = \det \left( \begin{bmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \right)$

Dónde $\mathbf i = \mathbf e_1$ , $\mathbf j = \mathbf e_2$ , y $\mathbf k = \mathbf e_3$ .

En las clases de demostración de teoremas, específicamente análisis, normalmente solo se define a través de la fórmula del determinante. Esto se debe a que generalmente se acepta que uno no debe usar el razonamiento geométrico en pruebas basadas en cálculo. Tus pruebas y definiciones pueden estar motivadas por un razonamiento geométrico, pero no debes usar argumentos geométricos en tus pruebas. Como tal, la mayoría de los teoremas que involucran el producto cruz usan solo esa fórmula e ignoran su significado geométrico. En física, en cambio, las definiciones geométricas tienden a prevalecer. Los ejemplos de su uso incluyen la definición de par y flujo magnético. Obviamente, sólo la segunda definición puede generalizarse. Esta situación es similar a la generalización del producto escalar. Geométricamente, el producto escalar mide cuán "cerca" están los vectores de ser perpendiculares. Obviamente, no puede hacer que las cosas sean "perpendiculares" en el sentido habitual en configuraciones que tienen más de 3 dimensiones. Sin embargo, en tres dimensiones, el producto punto de los vectores mencionados anteriormente resulta ser igual a

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Esta última noción puede generalizarse, y lo es. La noción de cosas "perpendiculares" en dimensiones más altas (o incluso infinitas) tiende a ser extremadamente importante, y cubrirás esto en algún momento de tu clase cuando estudies vectores ortogonales. No estoy al tanto de ninguna generalización de la producto cruzado Lo más parecido sería algo que se llama el producto de cuña, que está más en línea con lo que te ha dado tu profesor.

Agradezco que prefiera un diseño de texto determinado, pero: 1) su respuesta se ve extraña en un dispositivo móvil, ya que cada línea escrita ocupa alrededor de 1,5 líneas de pantalla. 2) es menos accesible para las personas que usan lectores de pantalla o navegadores no estándar (cada línea es un objeto de párrafo separado), 3) hace un mal uso de las funciones matemáticas (saltos de línea en modo matemático para espacio adicional entre párrafos de texto), 4) obliga a otras personas a use su diseño, en lugar de dejar que alguien personalice cómo se presenta el texto en su propio navegador. Sus respuestas serán mejor apreciadas si sigue las prácticas estándar de escritura.
Yo, como la mayoría de nosotros, estoy feliz de ayudar. Gracias por su respuesta. Algunos recursos útiles: la lista de símbolos de AoPS y las guías breves de ShareLatex .

Producto cruzado definido en RnRn\mathbb R^n

tyler6

dave

gt6989b

gato m

luego

Respuestas (2)

Marca

david caña

mefistolotl

mefistolotl

mefistolotl

Operadores lineales que conservan la norma del producto cruzado

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

¿Cómo calcular el determinante de una matriz con vectores unitarios le da el Producto Cruzado?

¿El producto cruzado vectorial solo está definido para 3D?

Producto vectorial en dimensiones superiores

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

Producto cruzado en espacios vectoriales complejos

Para los vectores ortonormales a,b∈R3a,b∈R3a, b \in \mathbb{R}^3, pruebe det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \veces b \end{bmatriz} = 1.

¿Algo que falta en el producto triple cruzado?

Producto triple escalar: ¿por qué equivalente a determinante?