producto cruz de vectores

No puedo comprender las siguientes líneas dadas en la página 657 de los Principios de la mecánica cuántica de Shankar:

Un punto complicado: el producto vectorial se define como ortogonal a los vectores en el producto con respecto a un producto interno

$${\bf A} \cdot {\bf B}=\sum A_i B_i$$ y no $${\bf A} \cdot {\bf B} =\sum {A_i}^* B_i$$ incluso cuando los componentes de ${\bf A}$son complejos. No hay contradicción aquí, para los vectores ${\bf A}_1, {\bf A}_2,...,{\bf A}_n$son objetos ficticios que entran en una mnemónica y no los elementos del espacio $\mathbb V^n(C)$sobre el que actúa el operador.

En primer lugar, me resulta difícil entender qué significa "con respecto a un producto interno" agregando a las primeras líneas. En segundo lugar, los axiomas nos llevan a la forma matemática del producto interior${\bf A} \cdot {\bf B} =\sum {A_i}^* B_i$(en base ortonormal). Cuando los vectores se definen sobre un campo escalar real, los conjugados complejos no dan nada nuevo; los números reales siguen siendo números reales. Aquí, el autor ha considerado que los componentes son complejos. A pesar de esta consideración, no se toman conjugados complejos en el producto interno. La razón detrás de esto es confusa. ¿Qué quiere decir cuando nos dice que los vectores son ficticios y que no entran en el espacio sobre el que actúa el operador?

¿Podría alguien guiarme a través de ellos dándome algunos consejos o explicándome qué significan las líneas?