¿Qué es exactamente un fasor?

Piense en una combinación del plano complejo y los vectores ordinarios.

Un fasor es un número complejo que representa una función sinusoidal cuya amplitud (A), frecuencia angular (ω) y fase inicial (θ) son invariantes en el tiempo.

Imagen y texto de Phasors Wikipedia

Suponga que tiene una red compuesta de múltiples sinusoides (ondas). Todos tienen la misma frecuencia, pero con diferentes amplitudes y fases. La única diferencia en sus representaciones analíticas es la amplitud compleja (fasor). Una combinación lineal de tales funciones se puede factorizar en el producto de una combinación lineal de fasores (conocida como aritmética de fasores) y el factor dependiente del tiempo/frecuencia que todos tienen en común.

Cuando la función ${\displaystyle \scriptstyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}}$ se representa en el plano complejo, el vector formado por sus partes imaginaria y real gira alrededor del origen. Su magnitud es $A$, y completa un ciclo cada$2π/ω$segundos.$θ$es el ángulo que forma con el eje real en $t = n•2π/ω$, para valores enteros de n.

Todos los vectores siguen las leyes de la suma de vectores y las leyes de la multiplicación. Entonces, si agrega dos fasores, se agregan como vectores, pero si los multiplica, se multiplican como números simples. Por lo tanto, los fasores son como vectores pero no vectores. Al igual que los vectores de área que se multiplican como vectores pero se suman como números.

Los fasores son cantidades complejas que se utilizan para representar parcialmente cantidades reales que varían sinusoidalmente en el tiempo y quizás en el espacio. Todos los fasores son independientes del tiempo. Representan parcialmente la cantidad real, y no completamente, porque no tienen información sobre la frecuencia.

Decir que los fasores son como vectores es decir que los números complejos son como vectores, lo cual es incorrecto. En primer lugar, las similitudes son solo para vectores bidimensionales . Sí, la suma y resta de dos vectores 2D es análoga a la suma y resta de dos números complejos; y la multiplicación de un vector 2D por un escalar es análoga a la multiplicación de un número complejo por un número real. Pero, la división de dos vectores ni siquiera está definida, sin embargo, la división de dos números complejos está definida; Además, no puede simplemente "multiplicar dos vectores 2D, debe especificar si es un producto escalar o un producto cruzado, sin embargo, puede "simplemente" multiplicar dos números complejos.

Para circuitos eléctricos, un voltaje fasorial$\tilde V$es una constante compleja y representa la amplitud y la fase de la señal, pero no su frecuencia. La señal$v(t)$es una función de valor real de una variable real (una temporal,$t$), y representa el valor instantáneo real de la señal. el señor$v_c(t)$es una función de valor complejo de una variable real (una temporal,$t$), y representa el valor instantáneo complejo de la señal. Algunas relaciones:

$v(t) = V_m \cos {(\omega t + \phi)} = \Re [\tilde V e^{j \omega t}] = \Re [v_c(t)] \tag*{}$

$\tilde V = V_m e^{j \phi} = V_m \cos {(\phi)} + j V_m \sin {(\phi)} \tag*{}$

$v_c(t) = \tilde V e^{j \omega t} = V_m e^{j \phi} e^{j \omega t} = V_m e^{j (\omega t + \phi)} = V_m \cos {(\omega t + \phi)} + j V_m \sin {(\omega t + \phi)} \tag*{}$

Nota:$v(t)=\Re [\tilde V]$sólo cuando$\omega t = \ldots, -4 \pi, -2 \pi, 0, 2 \pi, 4 \pi, \ldots$; en otras palabras, sólo cuando$\omega t = 2 \pi k$, dónde$k$es cualquier entero.

Para líneas de transmisión largas (circuitos eléctricos con parámetros distribuidos en lugar de concentrados), una tensión fasorial$\tilde V(x)$es una función de valor complejo de una variable real (una espacial,$x$). La señal$v(x,t)$es una función de valor real de dos variables reales (una espacial,$x$; y uno temporal,$t$), y representa el valor instantáneo real. el señor$v_c(x,t)$es una función de valor complejo de dos variables reales (una espacial,$x$; y uno temporal,$t$), y representa el valor instantáneo complejo. Algunas relaciones:

$v(x,t) = V_m e^{a x} \cos {(\omega t + \beta x + \phi)} = \Re [\tilde V(x) e^{j \omega t}] = \Re [v_c(x,t)] \tag*{}$

$\tilde V(x) = V_m e^{j \phi} e^{a x} e^{j \beta x} = V_m e^{a x} e^{j (\beta x + \phi)} = V_m e^{a x} \cos {(\beta x + \phi)} + j V_m e^{a x} \sin {(\beta x + \phi)} \tag*{}$

$v_c(x,t) = \tilde V e^{j \omega t} = V_m e^{j \phi} e^{a x} e^{j \beta x} e^{j \omega t} = V_m e^{a x} e^{j (\omega t + \beta x + \phi)} = V_m e^{a x} \cos {(\omega t + \beta x + \phi)} + j V_m e^{a x} \sin {(\omega t + \beta x + \phi)} \tag*{}$

Para la teoría electromagnética general, los fasores son funciones de valor complejo de tres variables reales (tres espaciales,$x$,$y$,$z$). Para el vector de campo eléctrico instantáneo,$\mathbf E (x,y,z,t)$, su fasor es$\mathbf {\tilde E} (x,y,z)$, y la relación$\mathbf E (x,y,z,t) = \Re [\mathbf {\tilde E} (x,y,z) e^{j \omega t}]$Está satisfecho.