¿Por qué no solo sujetadores y kets conjugados complejos en lugar del conjugado hermitiano?

Leí que una ecuación que involucra sujetadores, kets y operadores implica otra ecuación (su conjugada transpuesta), análoga a cómo una ecuación que involucra números complejos implica su ecuación conjugada compleja.

Sin embargo, no veo la necesidad de la transposición. ¿Por qué no solo hacer el conjugado? Como ejemplo:

Consideremos una ecuación de producto interior ⟨ A | B ⟩ = z , dónde z es un número complejo, ⟨ A | es el sujetador ( a , b , C ) , | B ⟩ es el ket ( d , mi , F ) .

Esta ecuación básicamente expresa esta relación entre un conjunto de números complejos:

a d + b mi + C F = z

Si simplemente conjugamos cada número complejo dentro de bras y kets, obtenemos esta relación implícita:

a ∗ d ∗ + b ∗ mi ∗ + C ∗ F ∗ = z ∗

La ecuación conjugada transpuesta, ⟨ B | A ⟩ = z ∗ , también expresa la misma relación que la anterior pero de manera notacionalmente invertida.

Entonces, ¿cuál es la necesidad de la transposición?

La necesidad de la transposición aparece cuando consideras lo que sucede cuando cambias de base.
// empieza a tararear cierta melodía de Fiddler On The Roof....
@CarlWitthoft ¿Cuál es la referencia?
@RyderRude la canción es "Tradición" e incluye el discurso de introducción "Puedes preguntar, ¿por qué comenzó esta tradición? Te diré por qué, no lo sé. Pero es una tradición, y debido a nuestras tradiciones, todos saben quién es y qué espera Dios que haga'.

Respuestas (1)

Ver lo siguiente podría ayudar:

| ψ ⟩ → ( a b )
⟨ ψ | → ( a ∗ b ∗ )
De esta manera, el producto interno se puede escribir como
⟨ ϕ | ψ ⟩ → ( C ∗ d ∗ ) ( a b ) = a C ∗ + b d ∗
⟨ ψ | ϕ ⟩ → ( a ∗ b ∗ ) ( C d ) = C a ∗ + d b ∗ = ( a C ∗ + b d ∗ ) ∗
Como se esperaba. Eso explica la necesidad de tomar la transposición. La razón para tomar conjugado es que queremos ⟨ ψ | ψ ⟩ ser positivo que representan la longitud de un vector.

Entonces, ¿la transposición se asegura de que podamos realizar la multiplicación de matrices con los operandos invertidos?
Sí, puedes multiplicar la matriz de dos filas. ¿Puede?
¿Por qué no solo sujetadores y kets conjugados complejos en lugar del conjugado hermitiano?
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