Ecuaciones de movimiento de la acción de Polyakov, antes de elegir el calibre conforme

Mi pregunta es la siguiente: es habitual en los libros de texto estándar elegir primero un calibre (generalmente el calibre conforme) y luego extraer las ecuaciones de movimiento de la acción de Polyakov variando las coordenadas de la cuerda$X^M$y la métrica de la hoja mundial$\gamma^{ab}$. Estoy tratando de encontrar las ecuaciones de movimiento de la cuerda antes de elegir un calibre . Permítanme proporcionar algunos detalles.

Supongamos que tenemos la acción de Polyakov

$$\begin{equation} S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]=-\frac{T}{2}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_aX^M\partial_bX^Ng_{MN}\hspace{0.2cm}, \end{equation}$$ donde los índices de capital corresponden al espacio-tiempo objetivo y los índices pequeños a la hoja del mundo 2d. Para las ecuaciones de movimiento, uno tiene que variar la acción de Polyakov con respecto a los cambios en ambos $\gamma^{ab}$y $X^M$. Si $\gamma^{ab}\to \gamma^{ab}+\delta\gamma^{ab}$, entonces $$\begin{equation*} \begin{split} \delta S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]&=-\frac{T}{2}\int d^2\xi\hspace{0.1cm}\delta\left(\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\right)\partial_aX^M\partial_bX^Ng_{MN}\\ &=-\frac{T}{2}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\partial_aX^M\partial_bX^Ng_{MN}\delta \gamma^{ab}\\ &-\frac{T}{2}\int d^2\xi\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_aX^M\partial_bX^Ng_{MN}\delta\left(\sqrt{-\gamma}\right).\\ \end{split} \end{equation*}$$ tambien tenemos eso $$\begin{equation}\label{eq:1.2} \delta\left(\sqrt{-\gamma}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\gamma^{ab}\delta\gamma_{ab}=-\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\gamma_{ab}\delta\gamma^{ab}\hspace{0.2cm}, \end{equation}$$ entonces uno entiende eso $$\begin{equation*} \begin{split} \delta S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]&=-\frac{T}{2}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\partial_aX^M\partial_bX^Ng_{MN}\delta \gamma^{ab}\\ &+\frac{T}{4}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma_{ab}\gamma^{cd}\partial_cX^M\partial_dX^Ng_{MN}\delta\gamma^{ab} \end{split} \end{equation*}$$ lo que lleva a las ecuaciones de movimiento para el campo métrico de la hoja mundial, es decir, las restricciones de Virasoro: $$\begin{equation}\label{eq:1.3} T_{ab}\equiv g_{MN}\left(\partial_aX^M\partial_bX^N-\frac{1}{2}\gamma_{ab}\gamma^{cd}\partial_cX^M\partial_dX^N\right)=0\hspace{0.2cm}. \end{equation}$$

Variando ahora con respecto a$X^M$, tenemos que si$X^M\to X^M +\delta X^M$entonces

$$\begin{equation*} \begin{split} S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]&\to -\frac{T}{2}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_a(X^M+\delta X^M)\partial_b(X^N+\delta X^N)(g_{MN}+\delta g_{MN})\\ &=S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]-T\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}g_{MN}\partial_aX^M\partial_b(\delta X^N)\\ &\qquad-\frac{T}{2}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_aX^M\partial_bX^N\delta g_{MN}+\mathcal{O}(\delta^2), \end{split} \end{equation*}$$ desde $g_{MN}=g_{NM}$y $\gamma_{ab}=\gamma_{ba}$. Entonces, $$\begin{equation*} \begin{split} \delta S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]&=-T\int d^2\xi\hspace{0.2cm}\partial_b\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}g_{MN}\partial_aX^M\delta X^N\right\}\\ &\qquad+T\int d^2\xi\hspace{0.2cm}\partial_b\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}g_{MN}\partial_aX^M\right\}\delta X^N\\ &\qquad\qquad-\frac{T}{2}\int d^2\xi\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_aX^M\partial_bX^N\hspace{0.1cm}\frac{\partial g_{MN}}{\partial X^{\Lambda}}\hspace{0.1cm}\delta X^{\Lambda}+\mathcal{O}(\delta^2)\hspace{0.1cm}. \end{split} \end{equation*}$$ Cambiar el nombre de algunos índices da $$\begin{equation*} \begin{split} \delta S_{\text{Pol}}[\gamma^{ab},X^M]&=T\int d^2\xi\hspace{0.1cm}\left\{\partial_b(\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}g_{MN}\partial_aX^M)-\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_aX^M\partial_bX^{\Lambda}\hspace{0.1cm}\frac{\partial g_{M\Lambda}}{\partial X^{N}}\right\}\delta X^N\\ &\qquad -T\int d^2\xi\hspace{0.2cm}\partial_b\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}g_{MN}\partial_aX^M\delta X^N\right\}+\mathcal{O}(\delta^2)\hspace{0.1cm}. \end{split} \end{equation*}$$ El último término de la variación anterior da lugar a cuatro términos superficiales, a saber $$\text{st}_1=T\int_{\sigma_i}^{\sigma_f} d\sigma\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{11}g_{MN}\partial_1X^M\delta X^N\right\}_{\tau_i}^{\tau_f},$$ $$\text{st}_2= T\int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{12}g_{MN}\partial_1X^M\delta X^N\right\}_{\sigma_i}^{\sigma_f},$$ $$\text{st}_3=T\int_{\sigma_i}^{\sigma_f} d\sigma\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{21}g_{MN}\partial_2X^M\delta X^N\right\}_{\tau_i}^{\tau_f},$$ $$\text{st}_4= T\int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau\left\{\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{22}g_{MN}\partial_2X^M\delta X^N\right\}_{\sigma_i}^{\sigma_f},$$ que tienen que desaparecer para que obtengamos las ecuaciones estándar de movimiento $$\partial_b(\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}g_{MN}\partial_aX^M)-\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\hspace{0.1cm}\gamma^{ab}\partial_aX^M\partial_bX^{\Lambda}\hspace{0.1cm}\frac{\partial g_{M\Lambda}}{\partial X^{N}}=0.$$ Ahora viene la parte confusa. Si ya hubiésemos elegido un calibre (por ejemplo, el calibre conforme $\gamma^{ab}=\eta^{ab}$) sería muy fácil hacer desaparecer los términos superficiales $\text{st}_i$eligiendo las condiciones de contorno para $X^M$. Este procedimiento también introduciría la noción de cadenas cerradas y abiertas.

Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente: ¿ Cuáles son las condiciones de contorno que hacen que los términos de la superficie$\text{st}_i$desaparecer e introducir la noción de cuerdas cerradas y abiertas (Neumann y Dirichlet) en esta acción de Polyakov "prefijada"?