Problemas para conectar el estrés y la fuerza en la mecánica continua con mi concepto de fuerza de la mecánica de puntos

No estoy muy familiarizado con la mecánica de medios continuos y me cuesta combinar mi conocimiento de las fuerzas de la mecánica simple con lo que leí sobre la mecánica de medios continuos.

Supongamos que tenemos una barra de metal de cierta longitud y un área de sección transversal cuadrática A que se somete a estrés σ .

1) ¿ Cuál es exactamente el significado físico de la fuerza? F = σ A ? Mi comprensión actual de las fuerzas es que necesitan un punto de aplicación : ¿dónde estaría este punto? es un solo punto? ¿Todos los puntos del área de la sección transversal a la vez? Esto último parece entrar en conflicto con la noción de que la fuerza se vuelve más pequeña si considero solo una parte del área:

Si divido el área de la sección transversal A en una serie de áreas más pequeñas A i , puedo calcular fuerzas F i = σ A i . Desde A = ∑ i A i , también tenemos F = ∑ i F i . Esto hace que parezca que F es algún tipo de cantidad acumulativa y plantea la pregunta: ¿ cuál es el significado físico de la F i ?

Intentando generalizar más esto, también podemos admitir diferentes valores de estrés σ i para las diferentes áreas A i e incluso hacer que las áreas sean infinitesimales para que obtengamos una distribución de tensiones σ ( X , y ) (para simplificar supongamos que elegimos la distribución tal que no hay torque neto en la barra). ¿Cuál es el significado físico de la "fuerza"? F = ∫ A σ ( X , y ) d A ?

2) ¿Qué está pasando matemáticamente? ¿Debe reemplazarse la noción de fuerza como un vector con un punto de aplicación por algún tipo de campo vectorial en mecánica continua (considerando solo el estrés en una sola dirección e ignorando complicaciones adicionales relacionadas con la naturaleza tensorial del estrés)? En caso afirmativo, ¿cómo se pueden combinar estas "fuerzas de área" (también he leído el término "fuerza de superficie") con fuerzas que tienen un punto de aplicación (por ejemplo, con el peso de una masa puntual o un cuerpo rígido donde la fuerza puede describirse como actuando sobre su centro de masa)? Para ser combinados, necesitan ser descritos por la misma estructura matemática.

3) ¿La noción de fuerza pierde de alguna manera su significado a lo largo del camino que esbocé en 1) arriba? es la cantidad integral F = ∫ A σ ( X , y ) d A ¿una fuerza en uno de los sentidos mencionados anteriormente o es una cantidad con unidades de fuerza pero sin significado físico como fuerza?

¿Está familiarizado con el concepto matemático de la función delta de Dirac?
Sí. Esto sugiere una respuesta a parte de mi pregunta 2) en el sentido de que las fuerzas de la mecánica elemental que se refieren a un punto pueden considerarse casos límite de fuerzas que se refieren a una superficie o un volumen.
Sí. Estás hablando de la diferencia entre una fuerza distribuida en una superficie y una fuerza puntual concentrada. La fuerza puntual concentrada es el límite de la fuerza distribuida a medida que el área de superficie sobre la que se aplica la fuerza se vuelve cada vez más pequeña (mientras que la fuerza resultante permanece constante). Esto es muy similar al área bajo la curva f(x) vs x cuando f(x) se aproxima a una función delta de Dirac.
Bien, ahora veo cómo puedo obtener un punto de aplicación si tomo la fuerza como constante y reduzco el área a la que se aplica. Pero todavía estoy bastante a oscuras acerca de mis otras preguntas. Si mantengo la tensión constante y observo áreas cada vez más pequeñas, la fuerza también se vuelve más y más pequeña. Esto no cuadra con mi intuición. Además, todavía no puedo entender la "integral de fuerza" que mencioné.
La tensión y la fuerza son la misma cosa. Si mantiene el estrés constante en un área más grande, esto se suma a una mayor fuerza de tracción.
Todavía tengo problemas para entender el significado de la integral en 1). Si aplico una determinada distribución de tensiones σ ( X , y ) a la vara y darte solo F pero no σ ( X , y ) no se puede calcular cómo reacciona la varilla. Entonces, ¿qué significa el conocimiento de F solo decirte? ¿Es esta una cantidad física significativa?

Respuestas (1)

Las dificultades conceptuales se resuelven en gran medida desarrollando la noción de tracción .

Tracción ( T → ) es un campo vectorial que representa una fuerza por unidad de área que actúa sobre una superficie orientada diferencialmente en algún punto de un cuerpo; Por lo general, pienso en la tracción como el concepto fundamental que luego se convierte en una fuerza una vez integrada, pero puedes pensar en ella como el límite de la fuerza que actúa sobre una superficie arbitraria por el área de la superficie a medida que encoges la superficie hasta un punto.

Entonces, es natural notar que la tracción en un punto cambia cuando cambias la orientación de la pequeña superficie en ese punto, pero que tiene que cambiar de una manera específica (las tracciones se equilibran en el equilibrio, etc.)

Esto motiva el desarrollo de un concepto llamado tensor de tensión. σ ¯ ¯ , que es un campo tensorial en el espacio, que puede proporcionarle la tracción en un punto seleccionando la orientación norte ^ de una superficie diferencial en ese punto dado. La ecuación a través de la cual se hace esto es:

T → = norte ^ ⋅   σ ¯ ¯

Es por esta razón que la tensión es el objeto matemático utilizado para describir estados mecánicos en un sistema continuo y no la tracción/fuerza. Se puede encontrar una derivación completa de esto en prácticamente todos los libros de mecánica continua; véase el libro de AJM Spencer o el libro de Mase-Smelser-Mase .

Para incluir fuerzas puntuales en este modelo, debe "integrar el modelo" y usar fuerzas a costa de la resolución espacial o resolver la fuerza puntual en una fuerza distribuida en un área muy pequeña, que es el verdadero escenario físico. ¡Espero que esto ayude!

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