Forma de una regla elástica de acero doblada entre 3 pines

Me temo que la pregunta tal como está está mal planteada y no tiene una solución única (no estoy seguro de qué es realmente una solución). Por ejemplo, uno necesita saber cuál es el Lagrangiano (es decir, el potencial elástico) ya que depende de la sección transversal/espesor, ... Además, cuál es la longitud de la regla, en qué puntos debe encontrarse con los pines y cuales son las condiciones de contorno.

Entonces, para dar una respuesta, inventé un par de hipótesis que me convienen: las vacas son esféricas y viven en el vacío, la regla es infinitamente delgada y los alfileres son puntiagudos. La regla también es inextensible de longitud.$L$y tiene una energía de flexión proporcional al cuadrado de su curvatura:

$$E \propto \int_0^L \kappa^2(s) \mathrm d s$$ dónde $s$es la coordenada a lo largo de la regla. Si $x$es la posición de la partícula $s$entonces $$\kappa^2 = \langle\ddot x,\ddot x\rangle = \dot\theta^2$$ con $\dot x = (\cos \theta,\sin \theta)$ya que bajo la restricción de inextensibilidad $\langle \dot x,\dot x\rangle = 1$. minimizando $E$produce la ecuación de Euler-Lagrange ( EDITAR : se corrigieron las siguientes ecuaciones): $$2\ddot \theta + \lambda_1 \cos\theta + \lambda_2 \sin\theta = 0$$ dónde $\lambda_{1,2}$son multiplicadores de Lagrange. Esto se puede integrar una vez después de la multiplicación por $\dot \theta$. Con todo, la ecuación de la regla entre dos pines está dada implícitamente por $$\int_0^s \frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{c-\lambda_1\sin\theta+\lambda_2\cos\theta}} = s.$$ En esto, $c$es una constante de integración.

Una vez que tengamos$\theta$(de alguna manera numéricamente), necesitamos integrar una vez más para obtener$x$. En cuanto a las constantes$(c,\lambda_{1,2})$, necesitamos asegurar la suavidad entre los pines y saber en qué$s_i$la regla atraviesa el pasador en$x_i$. Tenga en cuenta que este sistema puede no admitir una solución si las posiciones$x_i$están demasiado separados para que no se pueda garantizar la inextensibilidad.

EDITAR : Un par de detalles más. La longitud total de la regla sí importa. Aquí hay un escenario extremo. Si la longitud de la regla es infinita, existe una secuencia de configuraciones parametrizadas con$R$tal que la energía de flexión va a$0$como$R$va al infinito. En ese caso, no existe una solución que minimice la energía de flexión. La forma torcida de la figura debería resultarle familiar. Ayudaría mucho decir, por ejemplo, que la regla pasa por el primer pin en$s_0=0$y a través del tercero en$s_3$= L. En cuanto a$s_2$, se puede determinar minimizando la energía de flexión sobre el conjunto reducido de soluciones candidatas. Pero incluso en estos casos, no estoy seguro de que se pueda evitar por completo el pandeo.