Reemplazo de variables después de la transformación de Legendre

Question

AnónimoAmateur

Tengo la energía interna de un sistema en función de la entropía. $S$ , número de partículas $N$ y volumen $V$ :

tu (S, V, norte) = (\frac{v_{0} θ}{R^{2}}) \frac{S^{3}}{norte V}

$U(S,V,N) = \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{NV}$ necesito encontrar el potencial quimico

μ

$\mu$ como una función de

T

$T$ ,

V

$V$ y

N

$N$ . Realicé la siguiente transformación de Legendre:

F = tu - T S = (\frac{v_{0} θ}{R^{2}}) \frac{S^{3}}{norte V} - T S

$F = U - TS = \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{NV} - TS$ De la primera y segunda leyes de la termodinámica:

d F (T, V, norte) = - S d T - pag d V + m d norte

$dF(T,V,N) = -SdT - pdV + \mu dN$ Por lo tanto, las variables naturales de

F

$F$ son

T

$T$ ,

V

$V$ y

N

$N$ . También

F

$F$ teniendo una media diferencial exacta, puedo escribir:

m (T, V, norte) = \frac{\partial F}{\partial norte} (T, V, norte) = - (\frac{v_{0} θ}{R^{2}}) \frac{S^{3}}{{norte}^{2} V}

$\mu(T,V,N) = \frac{\partial F}{\partial N}(T,V,N) = - \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{N^2V}$

Como calcular $S(T,V,N)$ para sustituir en la ecuación anterior y así deshacerse del explícito $S$ ?

Tobias Funke · Answer 1

Tenga en cuenta que

T (S, norte, V) = \frac{\partial tu}{\partial S} (S, norte, V)

$T(S,N,V) = \frac{\partial U}{\partial S} (S,N,V)$

y que bajo ciertas condiciones sobre estas funciones podemos invertir esta relación para encontrar $S(T,N,V)$ . Entonces definimos

F (T, norte, V) = tu (S (T, norte, V), norte, V) - T S (T, norte, V) .

$F(T,N,V) = U(S(T,N,V),N,V) - T S(T,N,V) \quad .$

Así que todos los $S$ que aparecen en el RHS de la ecuación anterior se entienden como funciones de $T,N,V$ . De hecho, encontramos

\frac{\partial F}{\partial T} (T, norte, V) = - S (T, norte, V) .

$\frac{\partial F}{\partial T} (T,N,V) = -S(T,N,V) \quad .$

Véase, por ejemplo, Teoría estadística del calor. Florian Scheck. Springer , capítulo 2.