Podemos entender todo este asunto si visitamos la noción de temperatura de la mecánica estadística y luego la conectamos con realidades experimentales.

La temperatura es un multiplicador de Lagrange (y debería tener dimensiones de energía)

Primero consideramos la forma de la mecánica estadística de definir la temperatura. Dado un sistema físico con algún grado de libertad$X$, denote el número de posibles estados diferentes de ese sistema cuando$X$toma el valor$x$por el símbolo$\Omega(x)$. A partir de consideraciones estadísticas, podemos mostrar que los sistemas moderadamente grandes tienden fuertemente a sentarse en estados tales que$\Omega(x)$se maximiza. En otras palabras, para encontrar el estado de equilibrio$x_\text{eq}$del sistema que escribirías

$$\left. \left( \frac{d\Omega}{dx} \right) \right|_{x_\text{eq}} = 0$$ y resolver para $x_\text{eq}$. De hecho, es más conveniente trabajar con $\ln \Omega$así que haremos eso de ahora en adelante.

Ahora supongamos que agregamos la restricción de que el sistema tiene una cierta cantidad de energía$E_0$. Denote la energía del sistema cuando$X$tiene valor$x$por$E(x)$. Para encontrar el valor de equilibrio$x_\text{eq}$, ahora tenemos que maximizar$\ln \Omega$con respecto a$x$, pero manteniendo la restricción$E(x)=E_0$. El método de los multiplicadores de Lagrange es la famosa herramienta matemática utilizada para resolver este tipo de problemas. Uno construye la función

$$\mathcal{L}(x) \equiv \ln \Omega(x) + t (E_0 - E(x))$$ y minimiza $\mathcal{L}$con respecto a $x$y $t$. El parámetro $t$es el multiplicador de Lagrange; tenga en cuenta que tiene dimensiones de energía inversa. La condición $\partial \mathcal{L} / \partial x = 0$lleva a $$t \equiv \frac{\partial \ln \Omega}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial E} \implies t = \frac{\partial \ln \Omega}{\partial E} \, .$$ Ahora recuerda la relación termodinámica $$\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} \, .$$ Desde la entropía $S$se define como $S \equiv k_b \ln \Omega$vemos que la temperatura es en realidad $$T = \frac{1}{k_b t} \, .$$ En otras palabras, lo que llamamos temperatura es solo el (recíproco del) multiplicador de Lagrange que proviene de tener energía fija cuando intenta maximizar la entropía de un sistema, pero multiplicada por una constante $k_b$.

Lógicamente,$k_b$no necesita existir

si no fuera por el$k_b$¡entonces la temperatura tendría dimensiones de energía! Puedes ver en la discusión anterior que$k_b$es en gran medida solo una constante aleatoria adicional que no necesita estar allí. La entropía podría haberse definido como una cantidad adimensional, es decir$S \equiv \ln \Omega$sin el$k_b$y todo estaría bien. Notarás en los cálculos que$k_b$y$T$casi siempre aparecen juntos; no es casualidad y es básicamente porque, como decíamos,$k_b$es solo un factor ficticio que convierte la energía en temperatura.

Pero luego está la historia :(

La gente descubrió la termodinámica antes que la mecánica estadística. En particular, teníamos termómetros. La gente medía el "calor" de las cosas mirando la altura de un líquido en un termómetro. La altura de la lectura de un termómetro era la definición de temperatura; sin relación con la energía. La entropía se definió como la transferencia de calor dividida por la temperatura. Por lo tanto, la entropía tiene dimensiones de$[\text{energy}] / [\text{temperature}]$.$^{[a]}$

Medimos las temperaturas$T$, presiones$P$, volúmenes$V$y número de partículas$N$de algunos gases y descubrió que siempre obedecían la ley de los gases ideales$^{[b,c]}$

$$P V = N k_b T \, .$$

Esta ley se conocía a partir de experimentos durante mucho tiempo antes de que Boltzmann se diera cuenta de que la entropía es en realidad proporcional al logaritmo del número de microestados disponibles, una cantidad adimensional. Sin embargo, dado que la entropía ya estaba definida y tenía estas graciosas dimensiones de temperatura, tuvo que inyectar una cantidad dimensionada para "compatibilidad con versiones anteriores". fue el primero en escribir

$$S = k_b \ln \Omega$$ y esta ecuación es tan importante que está en su tumba .

Conectando temperatura y energía

En la práctica, es bastante difícil medir la temperatura y la energía en el mismo sistema en muchos órdenes de magnitud. Creo que es por esta razón que todavía tenemos estándares y unidades independientes de temperatura y energía.

Resumen

• La constante de Boltzmann es solo una conversión entre energía y una dimensión inventada que llamamos "temperatura". Lógicamente, la temperatura debería tener dimensiones de energía y la constante de Boltzmann es solo un dummy que convierte entre los dos por razones históricas. La constante de Boltzmann no contiene significado físico alguno. Nótese que el valor de$k_b$no es el problema real; los valores de las constantes dependen del sistema de unidades que utilice. El punto importante es que, a diferencia de la velocidad de la luz o la masa del protón,$k_b$no se refiere a ninguna cosa física independiente de la unidad en la Naturaleza.

• La temperatura es el multiplicador de Langrange que resulta de imponer energía fija al problema de maximizar la entropía. Como tal, lógicamente tiene dimensiones de energía.

• constante de Boltzmann$k_b$solo existe porque la gente definió la temperatura y la entropía antes de entender la mecánica estadística.

• siempre verás$k_b$y$T$juntos porque el único parámetro lógicamente relevante es$k_b T$, que tiene dimensiones de energía.

notas

$[a]$: Tenga en cuenta que si la temperatura tuviera dimensiones de energía, entonces, según esta definición, la entropía habría sido adimensional (como "debería" ser).

$[b]$: En realidad, esta ley fue escrita originalmente como$PV = n R T$dónde$n$es el número de moles de una sustancia y$R$es la constante de los gases ideales. Sin embargo, eso no es realmente importante porque puedes agrupar el número de Avogadro con$R$Llegar$k_b$.$R$y$k_b$tener un "estado" equivalente.

$[c]$: Tenga en cuenta de nuevo cómo$k_b$y$T$presentarse juntos.

Creo que esta pregunta se puede interpretar de varias maneras. Enmarcaré el argumento usando el ejemplo de las transiciones de fase.

1. ¿Es necesario que exista la temperatura (o realmente necesitamos otra constante)?:

No.

Consideremos lo que significa tener una transición de fase. En los términos más amplios, estamos introduciendo energía en un sistema y acercándonos a un punto crítico que conduce a un orden de largo alcance (de gas a sólido) o desorden (de sólido a gas). Por lo general, hemos definido que estas transiciones ocurran a una temperatura crítica. Sin embargo, la temperatura está relacionada con la energía a través de la constante de Boltzmann como

$$E = k_bT$$

Por lo tanto, también podríamos definir una energía de transición en lugar de temperatura que eliminaría la necesidad de la constante de Boltzmann. Por lo tanto, diría que estamos más o menos argumentando que podríamos definir todo el universo sin un parámetro similar a la temperatura, lo cual es cierto.

2. ¿Podemos redefinir la temperatura (o arreglar nuestra escala de energía)?

Absolutamente. Sin embargo, podemos hacer esto para cualquier constante fundamental y Boltzmann no tiene nada de especial. Esta es solo una conversión de unidades trivial.

3. ¿Qué pasaría si la relación entre el mundo microscópico y macroscópico fuera diferente? (o arreglando la escala de energía Y temperatura)

En esta interpretación, arreglaríamos nuestras escalas de temperatura y energía, pero cambiaríamos la relación entre las dos. Esto significaría que la cantidad de energía requerida para calentar o enfriar sería diferente. Por lo tanto, estamos cambiando la cantidad de energía requerida para la transición de fase, por ejemplo. Todavía podríamos eliminar la temperatura y simplemente usar energía, pero la cantidad de energía requerida sería fundamentalmente diferente.

En conclusión

La temperatura es una variable innecesaria ya que toda la física se puede transcribir simplemente en términos de energía. Por lo tanto, la constante de Boltzmann podría eliminarse. Sin embargo, si consideramos fijas las escalas de temperatura y energía, cambiar la constante de Boltzmann equivale a cambiar la energía requerida para muchos procesos físicos (es decir, transiciones de fase).

Entonces, ¿cómo interpretamos la pregunta?

La declaración original de las preguntas indicaba específicamente que cambiar la constante de Boltzmann no tendría ningún efecto en el universo. En base a esto, interpreto que esta pregunta está relacionada con los puntos 2 y 3. Dado que 2 también se aplica a cualquier constante, creo que es justo suponer que el autor quiso decir 3.

Si me equivoco y el autor se refiere al punto 1, creo que la pregunta debería reformularse.

Quizás el autor está pensando que$k_B$realmente sirve como la tasa de intercambio entre las unidades que usamos para medir la energía y las que usamos para medir la temperatura (que son diferentes más por razones históricas que por cualquier otra cosa). Desde este punto de vista, si duplicamos$k_B$, sería lo mismo que cambiar la escala de nuestra definición de temperatura, por lo que ahora se dice que las cosas que llamamos 100 K están a 50 K y así sucesivamente. Por supuesto, como cualquier cambio de unidades, esto en realidad no cambia nada físicamente.

Esto está bien, pero no está claro por qué el autor piensa que cambiar el valor de$c$u otra constante dimensional es diferente. El único tipo de constante cuyo valor absoluto importa claramente para el universo es algún parámetro adimensional, como la constante de estructura fina$\alpha$o la relación entre la masa del protón y el electrón.

Si observa las dos formas de la ley de los gases ideales,$PV = nRT$y$PV = Nk_BT$, notarás que$nR = Nk_B$, donde las unidades se definen convencionalmente de modo que$R$y$n$son cantidades de tamaño razonable. Eso significa que la inmensidad de$N$tiene que ser cancelado por$k_B$.

Así que creo que lo que realmente dice tu cita es que un universo con un$k_B$significa uno con una escala diferente para el número de Avogadro, es decir, uno en el que estaríamos hechos de 10 veces más átomos, o 10 veces menos. Esto no nos importa tanto, porque en cualquier caso, somos mucho más grandes que las escalas atómicas, que es lo importante.

Tomando$\mathcal{E}= k_\mathrm{B}T$y pretender que la constante de Boltzmann es un "artefacto histórico" porque no estamos midiendo temperaturas en "unidades de energía" es como tomar$E = mc^2$y$E=\hbar \nu$y pretender que la velocidad de la luz y la constante de Planck también son artefactos porque no estamos midiendo masas y frecuencias en unidades de energía. La naturaleza física de$c$y$\hbar$se sigue del análisis de otras expresiones físicas. Lo mismo sucede con$k_\mathrm{B}$; su significado físico no se puede obtener de$\mathcal{E}= k_\mathrm{B}T$.

Niels Bohr fue el primero en sugerir que$k_\mathrm{B}$tendría un papel similar a$\hbar$. Sugirió que la temperatura$T$y energía$E$serían propiedades complementarias de una manera análoga a la complementariedad de$x$y$p$en la teoría cuántica. Estaba parcialmente equivocado porque la cantidad complementaria de la energía no es$T$, pero la temperatura inversa$1/T$, pero Bohr sugirió que la analogía con la mecánica cuántica es completa, como lo han demostrado autores posteriores:

• La constante de Boltzmann juega el papel de 'cuanto' de la acción termodinámica.
• La constante de Boltzmann aparece en las reglas termodinámicas de 'cuantificación' para temperatura inversa y resto de parámetros intensivos$Y$ $$\delta (1/T) = k_\mathrm{B} \frac{\partial}{\partial E}, \qquad \delta Y = k_\mathrm{B} \frac{\partial}{\partial \Theta}$$

• La constante de Boltzmann aparece en los conmutadores termodinámicos que producen las relaciones de incertidumbre termodinámica

  $$\Delta (1/T) \Delta E \ge k_\mathrm{B}, \qquad \Delta Y \Delta \Theta \ge k_\mathrm{B}.$$

  Las expresiones anteriores y otras como las desigualdades de Schwartz o los conmutadores para las cantidades térmicas se pueden encontrar en la sección "7.5.2 Complementariedad termodinámica" de Byung Chan Eu Nonequilibrium Statistical mechanics (Kluwer, 1998).

La respuesta de DanielSank es 100% correcta sobre el tema de la temperatura. La pregunta merece mucha más argumentación porque el libro que usa, y muchos otros, están completamente equivocados. Usaré números y las leyes de la física para mostrar mi punto: no es cierto que

Si la masa de un electrón, la constante de Planck, la velocidad de la luz o la masa de un protón fueran ligeramente diferentes (más pequeñas o más grandes) de lo que realmente son, entonces el Universo completo no existiría como lo conocemos. Tal vez no existiríamos todos.

Reforzaré la distinción entre la 'cantidad' a medir y el valor de la medida. Como ejemplo: el tamaño de mi jardín no cambia si se mide en yardas o en metros.
Todos los sistemas de unidades se derivan del tamaño de los átomos y son proporcionales a él , incluso aquellos que ponen varias unidades a$1$. En otras palabras: no hay referencias independientes. Hay un bucle en las definiciones de las unidades: por ejemplo, la unidad de masa -$kg$es la masa de un grupo de átomos (N por ejemplo) como se representa en el prototipo de París y la masa del electrón es una parte definida de esa masa.

Imagine un universo donde, en comparación con el nuestro, las partículas tienen la mitad de masa y carga, los radios atómicos se reducen a la mitad y las constantes de campo ($c, \varepsilon,G$) son lo mismo; ¿Cómo lo describiría un habitante de tal universo?
Debido a que las unidades de masa, carga, longitud y tiempo son la mitad de las nuestras (usando las mismas definiciones de unidades), los valores de las constantes de campo en este “medio universo” son los mismos que los nuestros. Los valores de masa, carga o tamaño de los cuerpos medidos en cada mundo por el observador respectivo son los mismos (por definición de unidades estándar). La aceleración gravitacional de la Tierra se duplica (la mitad de la masa, la mitad del radio, la misma G); sin embargo, la unidad de medida también se duplica ($LT^{-1}$), por lo que el valor medido es el mismo. Cualquiera que sea la cantidad, todos los valores de cantidad son iguales a los nuestros excepto uno: la distancia entre cuerpos que no están unidos gravitacionalmente se duplica porque la unidad de longitud se reduce a la mitad, y esta distancia no se ve afectada por el hecho de que la materia tiene la mitad del tamaño.
Ahora, examinemos lo que sucede con la radiación espectral. Los átomos en el "medio universo" tienen la mitad del tamaño (el radio de Bohr se reduce a la mitad) y también lo son las características de las partículas, a saber, la longitud de onda asociada y la energía. Las radiaciones espectrales tienen la mitad de longitud de onda y la mitad de energía porque sólo de esta manera la transformación puede ser autosimilar, es decir, invariante en unidades estándar. Esto implica que la constante de Planck es cuatro veces la nuestra. Por supuesto, su valor en las unidades estándar del “medio universo” es el mismo que el nuestro porque la unidad también es cuatro veces la nuestra. Las constantes locales, para que tengan el mismo valor para los observadores de cada universo, deben ser diferentes, de acuerdo con sus funciones dimensionales. Diferentes cuando se miden con las mismas unidades, pero iguales cuando se miden con las unidades de su propio universo.
Ahora, podemos ir un paso más allá y considerar que en este universo conceptual, la materia (cada partícula) está disminuyendo en tamaño, masa y carga en relación con nuestro universo. El habitante del universo conceptual puede detectar un desplazamiento hacia el rojo en la radiación de fuentes distantes porque la radiación se emitió cuando los átomos eran más grandes (por lo tanto, la radiación se emitió con longitudes de onda proporcionalmente más grandes). Como esta es la única consecuencia localmente detectable de la variación de la materia, tal habitante concluye que la materia es invariante, las constantes de campo son invariantes y el espacio exhibe una expansión uniforme e isotrópica, como observamos. Este resultado muestra que las observaciones cósmicas pueden trazar una evolución autosimilar de la relación materia/espacio, que aparece como una dilatación del espacio en unidades estándar.

Insertando los números, vemos que el Electromagnetismo, la Gravitación y la Mecánica son invariantes bajo un cambio sincrónico de unidades, también conocido como 'tamaños' atómicos:

Las unidades de carga y longitud reducidas a la mitad: ley de la fuerza de Coulomb -$F_c=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1}{2}\frac{Q_2}{2}(\frac{2}{d})^{2}$
La masa reducida a la mitad: Ley de Gravitación Universal -$F_g=G\frac{M_1}{2}\frac{M_2}{2}(\frac{2}{d})^{2}$
Las unidades de tiempo y longitud reducidas a la mitad: la segunda ley de Newton -$F=M\cdot \frac{d(\frac{x}{2})^2}{d(\frac{t}{2})^2}$

Los niveles de energía de los espectros atómicos: ( la relación de Sommerfeld )$E_{j,n}=−m_e∗f(j,n,\alpha,c)$se desplazará hacia el azul si la masa del electrón se reduce a la mitad, pero mantenga todas las masas en proporción, por ejemplo$\frac{m_e}{m_p}$. Por el contrario, si los átomos en el pasado eran más grandes que los que estaban alrededor, la radiación pasada se desplaza hacia el rojo, como vemos.

(el modelo se presentó aquí (arxiv) con una prueba formal aquí (vixra pdf) y se está preparando una nueva versión)

Nota: No veo ninguna razón para decir nada sobre la viabilidad de un universo más rápido (mayor$c$=$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$) sin un estudio adecuado

La mayoría de las veces, creo (como la mayoría de la gente aquí) que la constante de Boltzmann es "solo" un factor de conversión de unidad arbitrario (temperatura$\Leftrightarrow$energía), y que podríamos deshacernos de ella. No es una constante fundamental impuesta por la naturaleza.

Sin embargo, cuando estoy pensando más en ello, con frecuencia tengo una duda. Aquí está mi - insegura - opinión de que$k_{\mathrm{B}}$en realidad puede ser una constante fundamental muy profunda, como$\hbar$y$c$(que en sí mismos no son factores de conversión de unidades simples, como intentaré mostrar a continuación).

Definimos la entropía estadística como esto (por supuesto,$p_n$son probabilidades, pero no daré más detalles sobre esto):

$$\begin{equation}\tag{1} S_{\text{stat}} = - k \sum_n p_n \ln{p_n}, \end{equation}$$ dónde$k$es una constante positiva arbitraria con cualquier unidad. Sería más simple simplemente usar$k \equiv 1$ por definición (sin ninguna unidad), o elegir$k = 1/\ln{2}$en unidades de "bits" para hacer contacto con la teoría de la información de Shannon. Por su definición, (1) no es algo que realmente podamos medir en un laboratorio.

Pero entonces, cuando queremos dar una relación con esta cantidad y las cosas que podemos medir en un laboratorio, usando cuerpos macroscópicos , tenemos que introducir una constante de acoplamiento que establece que:

Extraer información de un sistema macroscópico tiene un costo energético.

Este costo es impuesto por la naturaleza. Esto implica que la constante de acoplamiento entre una cantidad medible (energía, por ejemplo) y la entropía estadística no medible (1) no es 0. La constante de Boltzmann es una medida de ese costo .

En este contexto, es natural establecer$k \equiv k_{\mathrm{B}}$, por lo que la constante de acoplamiento se incluye en la definición de la entropía estadística (que podría identificarse con la entropía termodinámica , es decir, la que aparece en las relaciones empírico/físicas). Su pequeño valor en unidades humanas ($k_{\mathrm{B}} \sim 10^{-23} \, \mathrm{J/K}$) es una manifestación del hecho empírico de que la información es barata en nuestro universo. Los seres humanos pueden obtener mucha información sobre la naturaleza al tomar medidas que no les quitan mucha energía, o de lo contrario morirían (el costo es bajo).

En principio, podríamos imaginar un universo hipotético en el que extraer información es extremadamente doloroso. El costo es entonces muy alto y$k_{\mathrm{B}} \sim 10^{12} \, \mathrm{J/K}$en este universo (usando las mismas unidades que en nuestro universo, ¡lo cual puede no tener ningún significado en realidad!). Podríamos definir otro universo en el que el coste es infinito:$k_{\mathrm{B}} \rightarrow \infty$. Los observadores no pudieron obtener ninguna información en absoluto en su laboratorio. La vida no sería posible en ese universo. En el lado opuesto, podríamos imaginar otro universo en el que la información es totalmente gratuita:$k_{\mathrm{B}} \rightarrow 0$. En ese caso, cualquier pequeña medida podría aportar mucha información y la vida sería fácil (en realidad, demasiado fácil. La vida probablemente se destruiría a sí misma por la superpoblación, ¡ya que los organismos vivos podrían ser inmortales!).

una vez que obtienes$k_{\mathrm{B}} \ne 0$, podrías introducir un sistema de unidades que dé$k_{\mathrm{B}} = 1$. La elección "arbitraria"$k_{\mathrm{B}} \sim 10^{-23} \, \mathrm{J/K}$es una forma de establecer nuestro tamaño (escala) en nuestro universo .

Creo que hay algo similar con otras constantes de la naturaleza que generalmente se interpretan como factores de conversión de unidades simples , como$\hbar \sim 10^{- 34} \, \mathrm{J \cdot s}$(unidad de acción ) y$c^{-1} \sim 10^{- 9} \, \mathrm{s / m}$(unidad de tiempo en el espacio-tiempo).

El punto importante a notar no es el valor particular (pequeño) de estas constantes (que dependen de nuestra escala en el universo), sino el hecho de que no son 0 en nuestro universo . Nuestro universo no es sólo un mundo newtoniano, para el cual$k_{\mathrm{B}} = 0$,$\hbar = 0$y$c^{-1} = 0$. Desde este punto de vista, la constante de Boltzmann no es solo arbitraria: es una propiedad fundamental de nuestro muy grande y complicado mundo no newtoniano, y que los seres vivos están definiendo una escala especial, la única en la que la Vida es posible.