¿Hay algún problema abierto en física que involucre grupos de Lie y ecuaciones diferenciales para una tesis doctoral?
Algunas aplicaciones son, por ejemplo, el teorema de Noether en la teoría clásica o cuántica de campos. Pero no estoy seguro de si esos temas conducen a algún problema de investigación.
Entonces, ¿alguna idea sobre posibles problemas de investigación en la aplicación de grupos de Lie a ecuaciones diferenciales?
No creo que haya ninguno.
Puede consultar el libro de Stephanie Singer sobre grupos de Lie aplicados como simetrías de ecuaciones diferenciales, y también el libro sobre mecánica y ver la revisión desafortunadamente anticuada http://people.ucsc.edu/~rmont/papers/Symm_in_Mech_Review.PDF
Ahí verán que si bien hay alguna actividad de investigación, es lo que un físico consideraría “matemática pura”, por ejemplo, la posibilidad de colisiones en el problema de los tres cuerpos. Y esta actividad, también en Geometría Simpléctica y variedades Lorentzianas, tiene lugar en la comunidad matemática, no se hace ni interesa a los físicos. Y la propia Prof. Singer ahora está haciendo Estadísticas... igual que yo: dejó los Grupos de Lie para hacer Estadísticas, como yo también.
La Mecánica Estadística es el futuro de la Física.
Ahora bien, los Grupos de Lie juegan un papel importante en la Mecánica Estadística, véase el maravilloso artículo de revisión de Mackey en el Bulletin of the American Mathematical Society, y el Volumen 4 de Les Distributions: application de l'analyse harmonique de Gelfand y Naimark (estoy seguro de que hay un artículo en inglés). traducción también). Y parte de esa actividad es, de hecho, física, aunque lo que se agrupa en torno a la teoría ergódica y que interesaba particularmente a Mackey era puramente matemático.
kyle kanos
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