¿Problema mal planteado sobre el trabajo termodinámico? (comparando reversible e irreversible para diferentes estados finales)

Question

¿Problema mal planteado sobre el trabajo termodinámico? (comparando reversible e irreversible para diferentes estados finales)

empujador de electrones

No me preocupa la respuesta en sí ni los puntos de esta tarea. Mi interés es si este problema está mal planteado o si de hecho puede resolverse con la información proporcionada.

Tengo la impresión de que este problema está mal planteado y no tiene solución. Aquí está mi razonamiento, corríjame si ve un error. Examinemos los procesos A y B (suponiendo un comportamiento de gas ideal). Podemos comparar las temperaturas finales reorganizando la primera ley y la capacidad calorífica:

$\Delta U = Q + W = W$

$\Delta U = n \int c_V dT = nc_V \Delta T$

que para el proceso "i" da

$T_i = \frac{W_i}{nc_V} + T_1$ .

Podemos comparar las temperaturas finales $T_A$ y $T_B$ en base a los valores de trabajo en los procesos correspondientes ( $W_A$ y $W_B$ ). Entonces, este problema parece depender de comparar el trabajo realizado en un proceso irreversible (A) con el trabajo realizado en un proceso reversible (B). En expansión, el trabajo realizado de forma reversible es mayor que el trabajo realizado de forma reversible. Sin embargo, creo que tal comparación de caminos solo se puede hacer si los estados inicial y final son los mismos. Creo que ese no es el caso aquí.

Los dos procesos (A y B) tienen el mismo estado inicial, por lo que tienen el mismo número de moles. También tienen la misma presión final ( $P_{atm}$ ). Dado que presumiblemente tienen diferentes temperaturas finales (el punto del problema), entonces deben tener diferentes volúmenes finales:

$V_A = \frac{nRT_A}{P_{atm}} \neq V_B = \frac{nRT_B}{P_{atm}}$ cuando $T_A \neq T_B$ .

Dado que los volúmenes finales son diferentes, no creo que podamos comparar el trabajo reversible e irreversible. El trabajo irreversible ( $W_A$ ) podría ser mayor que el trabajo reversible ( $W_B$ ) si el volumen final del proceso irreversible ( $V_A$ ) fue una cantidad clave mayor que el volumen final del proceso irreversible ( $V_B$ ). Perdone el diagrama crudo, pero ilustra el punto mejor que las palabras:

No puedo encontrar una manera de resolver este problema sin hacer la comparación injustificada de "el trabajo reversible es mayor que el trabajo irreversible". ¿Este problema está mal planteado o me he perdido algo?

Chet Miller

A mi juicio, esta es una pregunta bien planteada, y la temperatura final en los 4 casos es diferente.

empujador de electrones

Gracias por tus comentarios. Si las temperaturas finales son diferentes, ¿no implica esto que los volúmenes finales son diferentes, lo que implica que no podemos comparar directamente el trabajo reversible e irreversible porque no son para el mismo estado final? Entonces, ¿no hay una forma analítica de determinar las temperaturas finales para una comparación rigurosa, sin más información?

Chet Miller

Vea el enfoque analítico en mi respuesta, que muestra que los diversos casos pueden compararse analíticamente, aunque los volúmenes finales difieren.

Respuestas (2)

¿Problema mal planteado sobre el trabajo termodinámico? (comparando reversible e irreversible para diferentes estados finales)

A mi juicio, esta es una pregunta bien planteada, y la temperatura final en los 4 casos es diferente.
Gracias por tus comentarios. Si las temperaturas finales son diferentes, ¿no implica esto que los volúmenes finales son diferentes, lo que implica que no podemos comparar directamente el trabajo reversible e irreversible porque no son para el mismo estado final? Entonces, ¿no hay una forma analítica de determinar las temperaturas finales para una comparación rigurosa, sin más información?
Vea el enfoque analítico en mi respuesta, que muestra que los diversos casos pueden compararse analíticamente, aunque los volúmenes finales difieren.

Chet Miller · Answer 1

En los casos A y B, suponiendo un pistón sin fricción y sin masa, la presión inicial es

{PAG}_{i} = \frac{METRO gramo}{A_{pag}} + {PAG}_{a t metro}

$P_i=\frac{Mg}{A_p}+P_{atm}$ dónde

A_{p}

$A_p$ es el área de la sección transversal del pistón; y la presión final es

{PAG}_{F} = {PAG}_{a t metro}

$P_f=P_{atm}$ El caso A es una expansión irreversible que tiene lugar a una presión externa constante igual a

P_{f}

$P_f$ , y de la primera ley de la termodinámica se obtiene:

Δ tu = norte C_{v} (T_{F} - T_{i}) = - {PAG}_{F} (V_{F} - V_{i}) = - {PAG}_{F} (\frac{norte R T_{F}}{{PAG}_{F}} - \frac{norte R T_{i}}{{PAG}_{i}})

$\Delta U=nC_v(T_f-T_i)=-P_f(V_f-V_i)=-P_f\left(\frac{nRT_f}{P_f}-\frac{nRT_i}{P_i}\right)$ Esta ecuación se puede resolver para la razón

T_{f} / T_{i}

$T_f/T_i$ como una función de

P_{f} / P_{i}

$P_f/P_i$ .

El caso B es una expansión reversible que tiene lugar a una presión externa que varía gradualmente y, desde la primera ley de la termodinámica, se rige por:

norte C_{v} d T = - PAG d V = - \frac{norte R T}{V} d V

$nC_vdT=-PdV=-\frac{nRT}{V}dV$ En combinación con la ley de los gases ideales, esta ecuación también se puede resolver para la relación

T_{f} / T_{i}

$T_f/T_i$ como una función de

P_{f} / P_{i}

$P_f/P_i$ .

Los dos resultados diferentes para los dos casos A y B pueden luego compararse para sus predicciones de la temperatura final. Se pueden aplicar análisis similares a los casos C y D.

Esto ciertamente también elimina mi suposición incorrecta, mal concebida y apresurada de que los volúmenes son los mismos en (A,B) y (C,D). Lección: Lea el problema cuidadosamente y haga su propio dibujo. Gracias por la advertencia anticipada.

empujador de electrones · Answer 2

Esta respuesta es para sacar una conclusión de la base establecida por la respuesta de Chet Miller, que aceptaré como la respuesta correcta.

Para la expansión irreversible (proceso A), continuando con la ecuación Chet Miller escribió,

norte C_{v} (T_{F} - T_{i}) = - {PAG}_{F} (\frac{norte R T_{F}}{{PAG}_{F}} - \frac{norte R T_{i}}{{PAG}_{i}})

$nc_v(T_f - T_i)=-P_f\left(\frac{nRT_f}{P_f}-\frac{nRT_i}{P_i}\right)$

podemos tomar $c_v = \frac{1}{\gamma-1}R := \alpha R$ (gas ideal) y realice algunas operaciones aritméticas para obtener la temperatura final (con respecto a la temperatura inicial fija) en términos de la presión final (con respecto a la presión inicial fija):

\frac{T_{F}}{T_{i}} = \frac{{PAG}_{F} / {PAG}_{i} + α}{1 + α} (expansión irreversible)

$\frac{T_f}{T_i} = \frac{P_f/P_i+\alpha}{1+\alpha} \;\;\;\;\;\; \text{(irreversible expansion)}$

dónde $\alpha$ es una constante (igual a la mitad de los grados de libertad moleculares del gas, por ejemplo $\alpha = 5/2$ para un gas diatómico).

Para la expansión reversible (proceso B),

norte C_{v} d T = - PAG d V = - \frac{norte R T}{V} d V

$nC_vdT=-PdV=-\frac{nRT}{V}dV$

separación de variables (y empleando $c_v = \alpha R$ ) rendimientos $\frac{dT}{T}=-\frac{1}{\alpha}\frac{dV}{V}$ que se integra a $\ln(\frac{T_f}{T_i})=-\frac{1}{\alpha}\ln(\frac{V_f}{V_i}) \implies \frac{T_f}{T_i}=(\frac{V_f}{V_i})^{\frac{-1}{\alpha}}=(\frac{nRT_f/P_f}{nRT_i/P_i})^{\frac{-1}{\alpha}}=(\frac{T_f}{T_i})^{\frac{-1}{\alpha}}(\frac{P_i}{P_f})^{\frac{-1}{\alpha}}$ que finalmente produce la ecuación deseada para la temperatura final (con respecto a la temperatura inicial fija) en términos de la presión final (con respecto a la presión inicial fija):

\frac{T_{F}}{T_{i}} = (\frac{{PAG}_{F}}{{PAG}_{i}})^{\frac{1}{α + 1}} (expansión reversible)

$\frac{T_f}{T_i}=(\frac{P_f}{P_i})^{\frac{1}{\alpha+1}} \;\;\;\;\;\; \text{(reversible expansion)}$

Para ganar algo de intuición, grafiqué la temperatura final (normalizada) $T_f/T_i$ vs. la presión final (normalizada) $P_f/P_i$ para cada proceso (tomando $\alpha = 5/2$ ) y el resultado me sorprendió.

Parece que independientemente de cuán diferentes puedan ser los volúmenes finales, un gas ideal que se expande irreversiblemente siempre tiene una temperatura final más alta que si la expansión se realizara de manera reversible (suponiendo que ambos procesos se llevan a cabo a la misma presión final y el proceso es adiabático). Esto también es cierto para la compresión adiabática: la temperatura final del proceso irreversible es mayor que la del proceso reversible, independientemente del volumen final (y suponiendo presiones finales idénticas).

Gracias de nuevo a Chet Miller por ayudarme a ver que una solución analítica sí es posible y que este problema no estaba "mal planteado".

¿Problema mal planteado sobre el trabajo termodinámico? (comparando reversible e irreversible para diferentes estados finales)

empujador de electrones

Chet Miller

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Chet Miller

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empujador de electrones

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