Problema de velocidad relativa

Tienes que distinguir entre la distancia que nada el hombre, en relación con el agua que lo rodea, y la distancia total que recorre el hombre, en relación con un observador en la orilla del río. La distancia total relativa a un observador en la orilla del río es la distancia que nada el hombre medida en relación con el agua que lo rodea combinada con la distancia que se mueve el agua en relación con la orilla. Si el hombre nada en línea recta la distancia total será la suma vectorial de las dos distancias (la vida se complica si el hombre no nada en línea recta).

Si está tratando de minimizar el tiempo de cruce, y no le importa en qué parte de la otra orilla emerge, entonces necesita minimizar la distancia que nada el hombre, porque el tiempo es esta distancia dividida por la velocidad de natación. Esto se hace nadando en una dirección perpendicular a la orilla.

Podrías tener diferentes criterios. Por ejemplo, es posible que desee minimizar la distancia total recorrida. Para lograr esto el hombre tendría que nadar en un ángulo diferente que dependería de la velocidad del río.

Respuesta al comentario:

El siguiente diagrama muestra lo que sucede cuando el hombre cruza nadando el río,

Dibujé al hombre nadando en un ángulo arbitrario$\theta$a una velocidad$v$. El río fluye a una velocidad$V$, y el tiempo que tarda el hombre en cruzar es$t$. La distancia nadada por el hombre es$d_m$y la distancia que recorre el agua es$d_r$.

El punto clave es que la velocidad con la que fluye el río afecta el lugar donde el hombre emerge al otro lado del río, pero no afecta el tiempo para cruzar. El tiempo para cruzar es simplemente la distancia nadada,$d_m$, dividido por la velocidad de nado,$v$:

$$t = \frac{d_m}{v}$$

y por trigonometría la distancia que nada el hombre está relacionada con el ángulo$\theta$por:

$$d_m = \frac{W}{\sin\theta}$$

entonces:

$$t = \frac{W}{v \sin\theta}$$

Ambos$W$y$v$son constantes, por lo que para minimizar el tiempo que necesita para maximizar$\sin\theta$, y el valor máximo de$\sin\theta$es 1 cuando$\theta$= 90º es decir perpendicular a la orilla.

Respuesta a la respuesta al comentario:

si tomamos$x$ser la dirección a lo largo del río y$y$la dirección a través de él, el tiempo necesario para cruzar es solo:

$$t = \frac{w}{U_y}$$

dónde$U$es la velocidad total y$U_y$eso es$y$componente. Porque$U$es la suma vectorial de$v$y$V$, es$y$componente es simplemente:

$$U_y = v_y + V_y$$

Pero el río está fluyendo en el$x$dirección es decir$V_y$es cero, y por lo tanto$U_y$=$v_y$es decir, el$y$componente de la velocidad total depende únicamente de la velocidad de nado del hombre y no de la velocidad del río. Es por eso que la velocidad del río no afecta el tiempo para cruzar.