FFT de paso dividido: la evolución de una onda libremente hace que se propague

¿Hay un significado "cuántico" en la onda que se propaga mientras evoluciona en el tiempo?

Por ejemplo, usamos una onda como:

$\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt[4]{2 \pi {\Delta x}^ 2}} \exp \left( i k_0 x - \frac{(x-x_0)^ 2}{4 {\Delta x}^ 2} \right)$

dónde$k_0$según tengo entendido, es un proxy de la energía de la onda (para una partícula libre):

$E_0 = \frac{k_0^2 \hbar^2}{2m}$

Luego usamos split-step y FFT para propagarlo en el tiempo:

$\Psi(x,t+\Delta t) \approx \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \exp(-\frac{i \hat{K} \Delta t}{\hbar}) \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \Psi(x,t)$

Nos acercamos a esto de la siguiente manera:

1. $\eta(x) = \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \Psi(x,t)$

2. $\xi(k) = \exp(-\frac{i (2 \pi k)^ 2 \hbar \Delta t}{2m}) \mathscr{F} (\eta(x))$

3. $\Psi(x,t+\Delta t) \approx \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \mathscr{F}^{-1} (\xi(k))$

Los pasos 1-3 se repiten muchas veces para pequeños pasos de tiempo, por lo general$\Delta t \approx 1\times 10^{-18} s$

Lo que observamos es que la onda se propaga como:

Lo siento por las malas imágenes, espero que sea posible entenderlas.

Pero es que, incluso para ondas que se propagan sin potenciales, o ondas con energías muy altas, siempre se comportan así.

Además, cuando tratamos de simular dispositivos de estado sólido, usamos la aproximación de masa efectiva y hace que la onda persista un poco más.

Claro, es posible que esté haciendo algo mal.