Problema de maximización de triángulos y círculos

Así que estaba jugando con GeoGebra y descubrí esto, no sé si este problema tiene un nombre o algo así.

El triangulo ABC esta inscrito dentro de una circunferencia, desde el punto D que esta ubicado dentro de la circunferencia, se trazan 3 rectas perpendiculares a cada lado del triangulo, cual es el area maxima del triangulo cuyos vertices son las intersecciones de las rectas perpendiculares y los lados del triangulo? (área máxima del triángulo EFG, el triángulo rojo en la imagen)

Usando Geogebra descubrí que esta área siempre es máxima cuando el punto D está ubicado en el centro del círculo, o en otras palabras, cuando las perpendiculares dividen los lados en 2 segmentos iguales.

Si alguien pudiera proporcionar una prueba/explicar por qué, estaría agradecido.

Vea el diagrama a continuación:

ingrese la descripción de la imagen aquí

¡Una prueba sintética aquí parece un verdadero bastardo, debo decir!
Cuando D es el circuncentro de A B C las perpendiculares son también la bisectriz de los lados de A B C y mi F GRAMO es parecido a A B C y es exactamente 1 4 de su área. Izquierda para probar que cualquier otra posición conduce a triángulos más pequeños
@Raffaele ¡Creo que has dejado la parte difícil!
El triángulo medial se forma según lo especifique conectando los puntos medios. La concurrencia de estas líneas perpendiculares debe ser importante, ya que un conjunto de puntos libremente elegidos en los lados podría tener un área arbitrariamente cercana al área del triángulo completo. Estoy menos convencido de que la restricción al círculo sea importante.
Al principio restringí el punto D para que estuviera DENTRO del triángulo, la respuesta también fue el circuncentro, también conocido como el triángulo mediano, pero luego recordé que el circuncentro podría estar fuera del triángulo, así que lo probé con el triángulo de la imagen y aparentemente si mueve el punto D a cualquier lugar que desee en el plano, puede tener áreas hasta el infinito (ya que los puntos EGF se encuentran en las extensiones de los lados de los triángulos ABC). Por lo tanto, debe haber alguna restricción en la ubicación del punto D que asumí que es el circuncírculo, si no hay restricción, entonces el circuncentro es un máximo local
Esto es lo que quise decir que si el punto D sale del círculo (en cualquier parte del plano), puede obtener áreas hasta el infinito: imgur.com/X55rq7j
ACTUALIZACIÓN: logró demostrar que si D se encuentra en el círculo (no dentro ni fuera), entonces los puntos E, G, F se encuentran en una línea, en otras palabras, cuando D se encuentra EN el círculo, el área del triángulo EGF es 0 Así que básicamente tenemos que el circuncentro es un máximo local, el área del triángulo rojo comienza a disminuir a medida que el punto D se aleja del circuncentro, una vez que el punto D se convierte en EN el círculo, el área se convierte en 0, luego como I sigue alejándote el área comienza a aumentar una vez más, hasta el infinito Al menos ahora sabemos cómo se comporta el punto D, ahora tenemos que probar el máximo local
ACTUALIZACIÓN 2: Wow, a través de geogebra, el área del triángulo rojo depende SÓLO de la distancia del punto D al circuncentro, por lo que para el conjunto de todos los puntos D que tienen la misma distancia fija desde el circuncentro, el área roja es igual a través de todos estos puntos! Entonces, según geogebra, supongamos que la distancia de D al circuncentro es X, y el radio del círculo en la imagen es r Si X aumenta mientras que X<r, el área disminuye y cuando x=r el área es 0 Si aumenta X mientras X>r, el área sigue aumentando (hasta el infinito)
resultado muy interesante

Respuestas (1)

+ 1 por redescubrir esta prolija propiedad de los triángulos pedales : el área es proporcional a la potencia del punto con respecto a la circunferencia circunscrita, en otras palabras, solo depende de la distancia del punto al circuncentro del triángulo original:

S mi F GRAMO = R 2 − O D 2 4 R 2 S A B C

Mathworld cita sobre este Johnson, RA Geometría moderna: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929 .

Se puede encontrar una prueba, por ejemplo, en cut-the-knot .

¡Vaya, esto lo explica todo! ¡Gracias! El problema parece difícil de resolver si no se supiera que el área depende únicamente de la distancia de D al circuncentro y del área del triángulo original ABC
Problema de maximización de triángulos y círculos
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