Probar si un punto está en el círculo de un triángulo

Actualmente estoy leyendo sobre métodos de triangulación de Delaunay. En particular, este artículo de Leach: Improving Worst-Case Optimal Delaunay Triangulation Algorithms (1992)

En él, Leach describe un método para probar si un punto$D$está en el circuncírculo de un triángulo$\triangle{}ABC$. Esto se contrasta con el método determinante habitual (consulte la página de Wikipedia de Triangulación de Delunay si desea leer más sobre eso).

La prueba se describe de la siguiente manera

En su lugar, usamos una prueba basada en$y$-coordenadas de los centros circuncírculos. Como se muestra en la Figura 4, para dos sitios fijos$A$y$B$el centro de la circuncircunferencia de$A$,$B$y un tercer punto se encuentra en la bisectriz de$A$y$B$.

Como el paso de combinación del algoritmo siempre busca el mejor sitio candidato por encima del borde cruzado superior, un sitio$D$es un sitio mejor que un sitio$C$si el centro de su circunferencia se encuentra más abajo en la bisectriz. El mejor sitio candidato es aquel cuyo centro circuncírculo es el más bajo. Sustituyendo$(x_A, y_A)$,$(x_B, y_B)$y$(x_C, y_C)$en

$$(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2$$ y resolviendo para$q$da $$q = \frac{1}{2} \cdot{} \frac{ (x_A^2 + y_A^2)(x_C - x_B) - (x_B^2 + y_B^2)(x_C - x_A) + (x_C^2 + y_C^2)(x_B - x_A) }{ (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) }.$$ Este cálculo requiere 23 operaciones (ignorando la división por 2 y asumiendo la eliminación de subexpresiones comunes). Se necesitan dos cálculos de este tipo para comparar los dos primeros sitios candidatos; a partir de entonces, solo se necesita uno por sitio candidato, por lo que el costo de la InCircleprueba se reduce aproximadamente a la mitad.

No sigo lo que está pasando aquí. Entiendo por qué los circuncentros caen en la línea entre$A$y$B$, pero no es inmediatamente obvio para mí:

1. ¿Por qué un menor$q$es mejor para la triangulación de Delaunay.
2. Qué debe hacer el método cuando el$q$cae por debajo del centro de$AB$. ¿Es más bajo aún mejor, o es la distancia desde el centro lo que realmente nos importa?

Si alguien pudiera explicar (1) y responder (2), esto sería de gran ayuda para mí, gracias.