¿Es esta una prueba válida para el área de un círculo?

Mi maestro desafió a mi clase a probar que el área es

A = π r 2 .

Recientemente aprendimos sobre las sumas de Riemann, así que pensé que sería posible aplicarlas para derivar la fórmula del área del círculo. Sé que existen pruebas similares, pero esta es una que realmente se me ocurrió y me pregunto si es válida. Dígame si hay algo inválido en esta prueba o cómo se puede mejorar.

Imagina dividir un círculo en un número infinito de triángulos isósceles, donde dos catetos se extienden desde un vértice en el centro del círculo hasta el borde del círculo. El ángulo central que forma cada triángulo se puede representar como 2 π norte , dónde norte es el número de triángulos en el círculo.

el area de un triangulo es A = 1 2 a b pecado ⁡ C . Dado que los catetos de cada uno de los triángulos se extienden desde el centro del círculo hasta el borde, eso significa que a = b = r , el radio del círculo. Por lo tanto, la suma de todos los triángulos en el círculo a medida que el número de triángulos se acerca al infinito se puede representar como:

límite norte → ∞ ∑ i = 1 norte 1 2 r 2 pecado ⁡ ( 2 π norte )

que se puede reescribir como:

límite norte → ∞ 1 2 r 2 norte pecado ⁡ ( 2 π norte ) = 2 π ( 1 2 ) r 2 = π r 2

Creo que esto es similar a lo que hizo Arquímedes. Sin embargo, hay algunos problemas técnicos con tales pruebas. Primero, lo que ha demostrado es que las sumas de Riemann que usan un tipo específico de partición para el círculo convergen a un cierto valor, pero esto no prueba que todas las sumas de Riemann que usan particiones con diámetro máximo van a 0 convergerá al mismo valor (es decir, que el área está bien definida).
El segundo punto es qué definición de π y pecado usaste. Esto puede o no ser un problema, pero debe asegurarse de evitar un argumento circular (¡juego de palabras!).
Los radianes se definen usando áreas seccionales, por lo que esta prueba parece circular.
@CyclotomicField Radians son, en mi experiencia, mucho más comúnmente definidos usando longitudes de arco seccionales. Pero esto es de hecho algo que necesita aclaración, como lo señala Tob Ernack arriba.
@Arthur Entonces, cuando se abstrae a trigonometría hiperbólica, desea usar áreas seccionales en lugar de longitud de arco. No sabía que había otra definición hasta ahora.
@CyclotomicField ¿Significa esto que el uso de radianes sigue siendo un argumento circular?
@PythonTron No lo creo porque la longitud del arco es diferente al área y estás usando la definición de π directamente de esta manera.
Además de mi primer comentario: con respecto a la partición, también existe el problema de que cuando inscribes un polígono en el círculo, aún dejas un área sin cubrir alrededor de los bordes del polígono, y tendrías que mostrar que este área restante va a cero a medida que aumenta el número de lados del polígono. Esto se puede hacer con un poco más de trabajo. Creo que Arquímedes en realidad limitó el círculo con polígonos inscritos y circunscritos y usó "apretar". Pero en última instancia, todos estos problemas técnicos se resuelven con la teoría completa de la integración (o medidas).
@TobErnack Supongo que fue solo la intuición lo que me permitió saber que a medida que aumentaba la cantidad de lados del polígono, el espacio sobrante disminuía. ¿No es eso sentido común?
Ciertamente es obvio intuitivamente, estoy de acuerdo. Pero una prueba completa tendría que abordar ese problema. Pero no vea mis comentarios como demasiado duros, su prueba sigue siendo una muy buena idea que muestra por qué el área del círculo es la que es. Solo estoy señalando estas cosas porque a pesar de que "área" es un concepto intuitivo, requiere una cantidad sorprendente de maquinaria para hacerlo riguroso.
¿Qué pasa con Riemann? Sumar circunferencias usando el radio. r como variables? Funciona:
∑ k ≤ norte 2 π X k Δ X = ∑ k ≤ norte 2 π r k norte r norte → 2 π ∫ 0 r X d X = π r 2
Mira aquí para más detalles.
Es una forma muy bonita de descubrir la fórmula del área de un círculo.
@PythonTron Para mostrarle un ejemplo de cómo un argumento similar puede fallar si no tiene cuidado: aquí hay una prueba de "meme" bastante famosa que π = 4 .
@TobErnack Agradezco mucho los comentarios. Me encanta aprender sobre todos los detalles finos de las demostraciones.
@Snoop Eso es realmente interesante. Me encanta ver cómo el mismo concepto se puede aplicar de múltiples maneras.
@TobErnack He visto un video sobre esto exactamente. Explicó cómo simplemente acercarse a algo no necesariamente lo hace igual a algo. youtube.com/watch?v=lCOlS_qn8RQ

Respuestas (1)

¡Buena prueba! La única propiedad de π y el círculo en el que parece estar confiando es que un ángulo central de α radianes corresponde a una longitud de arco de α 2 π r , es decir, confías en la fórmula para la circunferencia de un círculo, pero no en la fórmula para su área, así que no veo una circularidad aquí. Sin embargo, tenga en cuenta que ha dado un argumento que no usa la definición matemática estándar de área dada por integrales definidas, ya que ha usado triángulos específicos en lugar de rectángulos arbitrarios, pero no contaría eso contra su prueba. Me gusta tu truco, ya que simplifica las cosas computacionalmente.

También puede usar el enfoque estándar a través de las sumas de Riemann, donde colocamos rectángulos dentro. Dejar F ( X ) = r 2 − X 2 . La gráfica de esta función es la parte superior de un círculo de radio r centrado en el origen. Cuando ajustamos un número infinito de rectángulos obtenemos ∫ − r r r 2 − X 2 d X que se puede calcular usando el teorema fundamental del cálculo y la sustitución X = r pecado ⁡ t :

∫ − r r r 2 − X 2 d X = ∫ − π 2 π 2 r 2 − r 2 pecado 2 ⁡ t ⋅ r porque ⁡ t d t = r 2 ∫ − π 2 π 2 porque 2 ⁡ t d t = r 2 2 ∫ − π 2 π 2 1 + porque ⁡ ( 2 t ) d t = r 2 2 [ t + pecado ⁡ ( 2 t ) 2 ] − π 2 π 2 = π r 2 2
de modo que el área de todo el círculo es 2 ⋅ π r 2 2 = π r 2 .

¡Tu idea de tomar triángulos isósceles, en lugar de los rectángulos más estándar que se usan en la integración, utiliza la simetría del círculo y definitivamente facilita los cálculos en este caso!

También vale la pena mencionar que la integración se puede hacer en coordenadas polares por un cambio de variables, lo que se vuelve análogo al método usando triángulos.
@TobErnack ¡Buena observación!
¿Hay alguna razón particular por la cual se usó la sustitución x=rsin(t) aparte de que simplemente se descubrió que funcionaba? ¿Son posibles otras sustituciones trigonométricas? Tenga en cuenta que estoy en AP Calc BC, y ya no aprendemos la sustitución trigonométrica, por lo que falta mi conocimiento al respecto.
@PythonTron Geométricamente, lo que estamos haciendo es equivalente a parametrizar el semicírculo superior { ( X , y )   |   y = r 2 − X 2 } utilizando funciones trigonométricas: { ( r porque ⁡ α , r pecado ⁡ α )   |   α ∈ [ 0 , π ] } . Hay otras sustituciones trigonométricas (menos obvias) para resolver integrales como ∫ a 2 + X 2 d X y similares, ver en wiki . Básicamente funcionan debido a las identidades trigonométricas que simplifican las expresiones, pero probablemente también se pueden ver desde una perspectiva geométrica.
@Snaw Acabo de ver un video sobre la sustitución trigonométrica y lo entiendo ahora. Gracias.
Personalmente, soy más fanático del método Onion , porque requiere menos conocimiento sobre integración que el ingenuo "integrar r 2 − X 2 " método anterior, y todo lo que necesita comprender es la regla de potencia para la integración. Además, hace que sea un poco más intuitivo en cuanto a por qué el factor de 2 desaparece del área de una fórmula circular.
@Kyky De acuerdo, tanto el "método de la cebolla" como el "método de los triángulos" de OP son mejores para obtener una intuición para π r 2 en comparación con ∫ r 2 − X 2 d X . Hacen que la fórmula parezca mucho más clara. Específicamente ∫ 0 r 2 π t d t = π r 2 es definitivamente muy elegante. (Sin embargo, requiere un poco más de justificación para que la prueba sea completamente rigurosa: el método de la cebolla necesita integrales dobles como se explica en el enlace, y el método de los triángulos requiere alguna justificación de por qué las áreas de las partes sobrantes necesariamente tienden a cero, como se explica en los comentarios anteriores de Tob).
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