Maximizar área para un perímetro dado, etc. - ¿Qué rama de las matemáticas?

Es un hecho conocido que si tiene un bucle cerrado hecho de alambre flexible, encerrará el área máxima cuando se doble en un círculo.

Pero, ¿cómo se prueba esto?

También una pregunta más difícil sobre la que tenía curiosidad: si dos extremos de un cable flexible de longitud$l$están atados a los extremos de una barra recta rígida de longitud$d$($d<l$), entonces cuál es el área bidimensional máxima encerrable por el alambre y la varilla.

Tengo curiosidad por saber qué tipo de métodos se utilizan para resolver tales preguntas.

Un método probablemente sería el cálculo, pero no pude averiguar cómo abordar ese problema (aparte del hecho de que probablemente se requieran las fórmulas para el área bajo una curva y la longitud de una curva). Traté de googlear también, no pude encontrar mucho.

PD: no estoy pidiendo las soluciones exactas a las preguntas anteriores (que probablemente ni siquiera entenderé), sino las ramas de las matemáticas utilizadas para resolverlas.