Problema de geometría en △ABC△ABC\triángulo ABC y seguimiento de ángulos

Question

Problema de geometría en △ABC△ABC\triángulo ABC y seguimiento de ángulos

triangulos
Matemáticas
trigonometría
Geometría euclidiana

poder popular

$\triangle ABC$ es un triangulo isosceles con $AB=BC$ y $\angle ABD=60^{\circ}$ , $\angle DBC=20^{\circ}$ y $\angle DCB=10^{\circ}$ . Encontrar $\angle BDA$ .

Mi enfoque: dejar $\angle BDA=x$ . Dejar $AB=BC=p$ . Aplicando la ley del seno en $\triangle ADB$ , $\dfrac{p}{\sin x}=\dfrac{BD}{\sin (60+x)}$ . Aplicando la ley del seno en $\triangle BDC$ , $\dfrac{p}{\sin150^{\circ}}=\dfrac{BD}{\sin 10^{\circ}}$ . Usando las dos ecuaciones, obtenemos $\dfrac{1}{2\sin 10^\circ}=\dfrac{\sin x}{\sin (60^\circ +x)} \implies 2\sin 10^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cot x + \dfrac{1}{2} \\ \implies x = \text{arccot} \left(\dfrac{4\sin 10^\circ-1}{\sqrt{3}}\right)$ .

Ahora estoy atascado. yo se que la respuesta es $100^\circ$ pero no importa cuánto lo intente, parece que no puedo simplificarlo más. Por favor ayuda. Si alguien tiene una solución mejor (que involucre geometría euclidiana simple), le agradecería que también la proporcione.

Editar: Lo siento mucho. El problema original era cuando $AB=BC$ . Lamento el inconveniente causado. He rectificado mi error. Además, he cambiado la respuesta a $100 ^\circ$ .

poder popular

¿Le importaria explicar? no veo como

∠ B A C = 50^{\circ}

$\angle BAC=50^\circ$ y

∠ B A D = 40^{\circ}

$\angle BAD=40^\circ$ si

∠ B D A = 80^{\circ}

$\angle BDA=80^\circ$ .

Respuestas (6)

Problema de geometría en △ABC△ABC\triángulo ABC y seguimiento de ángulos

¿Le importaria explicar? no veo como $\angle BAC=50^\circ$ y $\angle BAD=40^\circ$ si $\angle BDA=80^\circ$ .

rosa f · Answer 1

$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=80^\circ$ .

\begin{aligned} A B & = B C \\ ⟹ ∠ C A B & = ∠ B C A = (180^{\circ} - ∠ A B C) / 2 = 50^{\circ} . \end{aligned}

$\begin{align*} AB&=BC\\ \implies \angle CAB&=\angle BCA=(180^\circ-\angle ABC)/2=50^\circ. \end{align*}$

erigir un triangulo equilatero $ACE$ en base $AC$ . Entonces $\triangle$ s $ABE, CBE$ son congruentes en sentido opuesto porque $AB=CB$ , $AE=CE$ y $BE$ Es común. De este modo

∠ A mi B = ∠ B mi C = 30^{\circ} .

$\angle AEB=\angle BEC=30^\circ.$

∠ C D B = 180^{\circ} - ∠ D B C - ∠ B C D = 150^{\circ} .

$\angle CDB=180^\circ-\angle DBC-\angle BCD=150^\circ.$ Así cuadrilátero

B D C E

$BDCE$ es cíclico porque sus ángulos

D

$D$ y

E

$E$ son suplementarios. De este modo

∠ D mi C = ∠ D B C = 20^{\circ} .

$\angle DEC=\angle DBC=20^\circ.$

\begin{aligned} ∠ mi C B & = ∠ mi C A - ∠ B C A = 10^{\circ} \\ ⟹ ∠ mi C D & = ∠ mi C B + ∠ B C D = 20^{\circ} = ∠ D mi C . \end{aligned}

$\begin{align*} \angle ECB&=\angle ECA-\angle BCA=10^\circ\\ \implies \angle ECD&=\angle ECB+\angle BCD=20^\circ=\angle DEC. \end{align*}$

Así triángulo $CED$ es isosceles en la base $CE$ , entonces $CD=DE$ . De este modo $\triangle$ s $ACD, AED$ son congruentes en sentido opuesto porque $AC=AE$ , $CD=ED$ y $AD$ Es común. De este modo

\begin{aligned} ∠ C A D & = ∠ D A mi = 30^{\circ} \\ ∠ B A mi & = ∠ C A mi - ∠ C A B = 10^{\circ} \\ ⟹ ∠ D A B & = ∠ D A mi - ∠ B A mi = 20^{\circ} \\ ⟹ ∠ B D A & = 180^{\circ} - ∠ D A B - ∠ A B D = 100^{\circ} . \end{aligned}

$\begin{align*} \angle CAD&=\angle DAE=30^\circ\\ \angle BAE&=\angle CAE-\angle CAB=10^\circ\\ \implies \angle DAB&=\angle DAE-\angle BAE=20^\circ\\ \implies \angle BDA&=180^\circ-\angle DAB-\angle ABD=100^\circ. \end{align*}$

timon92 · Answer 2

Dejar $E$ ser el circuncentro de $BCD$ . Entonces $\angle BED=2\angle BCD=20^\circ$ y $\angle DEC =2\angle DBC =40^\circ$ . Por eso $\angle BEC=60^\circ$ . Esto y $BE=EC$ muestra que $BEC$ es equilátero. Entonces $BC=BE$ y $\angle CBE=60^\circ$ . por supuesto $AB=BC$ , entonces $AB=BE$ y

∠ B mi A = 90^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A B mi = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot 140^{\circ} = 20^{\circ} = ∠ B mi D .

$\angle BEA = 90^\circ -\frac 12 \angle ABE =90^\circ -\frac 12 \cdot 140^\circ =20^\circ =\angle BED.$ Por lo tanto

A, D, E

$A,D,E$ son colineales y encontramos

∠ B D A = 180^{\circ} - ∠ mi D B = ∠ B mi D + ∠ D B mi = 20^{\circ} + 80^{\circ} = 100^{\circ} .

$\angle BDA =180^\circ -\angle EDB = \angle BED+\angle DBE= 20^\circ+80^\circ =100^\circ.$

cuanto · Answer 3

Seguir simplificando

\begin{aligned} cuna X & = \frac{4 pecado 10 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{(2 pecado 10 - \frac{1}{2}) porque 10}{\frac{\sqrt{3}}{2} porque 10} \\ = \frac{pecado 20 - porque 60 porque 10}{porque 10 pecado 60} = \frac{2 porque 70 - 2 porque 60 porque 10}{cuna 10 \cdot 2 pecado 10 pecado 60} \\ = \frac{porque 70 - porque 50}{cuna 10 \cdot (porque 50 - porque 70)} = - cuna 80 = cuna 100 \end{aligned}

$\begin{align} \cot x & =\frac{4\sin 10-1}{\sqrt{3}} =\frac{(2\sin 10-\frac12)\cos10}{\frac{\sqrt{3}}2\cos10} \\ & =\frac{\sin 20-\cos60\cos10}{\cos10\sin60} =\frac{2\cos 70-2\cos60\cos10}{\cot10\cdot2\sin10\sin60} \\ & =\frac{\cos70-\cos50}{\cot10\cdot(\cos50-\cos70)} =-\cot80=\cot100 \end{align}$

De este modo, $x=100^\circ$ .

grand_chat · Answer 4

Asumiendo $AB=BC$ es lo que pretendías, tu cálculo es correcto. Darse cuenta de $\frac{4 \sin 10^\circ - 1}{\sqrt 3}$ es negativo, y de hecho el arccot de este valor es $-80^\circ$ . ¿Cómo puede ser negativo el ángulo? Recordar que $x$ tiene que ser un ángulo obtuso, por lo que debe agregar $180^\circ$ a $-80^\circ$ , obteniendo $100^\circ$ . Puedes confirmar eso $x=100^\circ$ también satisface la ecuación que obtuviste.

¿Puedes explicar por qué añadiste $180^\circ$ en lugar de $360^\circ$ ?
@PopularPower Las funciones cotangente y tangente tienen periodo $180^\circ$ . En otras palabras, $\cot(x) = \cot(x+180)$ . Es cierto que $360^\circ + x$ también satisface tu ecuación, pero ese ángulo es imposible en un triángulo.

usuario · Answer 5

Si está buscando una forma "inteligente" de resolver la ecuación trigonométrica obtenida, el siguiente truco suele ser útil en problemas similares:

Dejar $x$ satisfacer la ecuación:

\begin{matrix} (1) & \frac{pecado (X)}{pecado (C - X)} = \frac{pecado (A)}{pecado (C - A)}, 0 < X, A < C < π . \end{matrix}

$\frac {\sin (x)}{\sin (C-x)}=\frac {\sin (A)}{\sin (C-A)},\quad 0<x,A <C <\pi.\tag1$ Entonces

\begin{matrix} (2) & X = A . \end{matrix}

$x=A.\tag2$

Aplicando esto a su problema se obtiene:

\frac{pecado (X)}{pecado (120^{\circ} - X)} = \frac{1}{2 pecado 10^{\circ}} = \frac{porque 10^{\circ}}{pecado 20^{\circ}} = \frac{pecado 100^{\circ}}{pecado 20^{\circ}} ⟹ X = 100^{\circ} .

$\frac {\sin (x)}{\sin (120^\circ-x)}=\frac1{2\sin 10^\circ} =\frac{\cos 10^\circ}{\sin 20^\circ}=\frac{\sin 100^\circ}{\sin 20^\circ}\implies x=100^\circ.$

Prueba de $(1)\implies (2)$ :

\begin{aligned} \frac{pecado X}{pecado (C - X)} = \frac{pecado A}{pecado (C - A)} \\ ⟺ pecado X (pecado C porque A - porque C pecado A) = pecado A (pecado C porque X - porque C pecado X) \\ ⟺ pecado C (pecado X porque A - porque X pecado A) = 0 \\ ⟺ pecado C pecado (X - A) = 0 \overset{0 < X, A < C < π}{⟹} X = A . \end{aligned}

$\begin{align} &\frac {\sin x}{\sin (C-x)}=\frac {\sin A}{\sin (C-A)}\\ &\iff \sin x\,(\sin C \cos A-\cos C\sin A)=\sin A\,(\sin C \cos x-\cos C\sin x)\\ &\iff \sin C\,(\sin x\cos A-\cos x \sin A)=0\\ &\iff\sin C\sin(x-A)=0\stackrel{0<x,A <C <\pi}\implies x=A. \end{align}$

jerbo sammy · Answer 6

Aunque no es tan satisfactoria como una solución puramente geométrica, el método más directo es aplicar la forma trigonométrica del teorema de Ceva :

\frac{pecado α}{pecado (A - α)} . \frac{pecado β}{pecado (B - β)} . \frac{pecado γ}{pecado (C - γ)} = 1

$\frac{\sin\alpha}{\sin(A-\alpha)}.\frac{\sin\beta}{\sin(B-\beta)}.\frac{\sin\gamma}{\sin(C-\gamma)}=1$ dónde

A, B, C

$A, B, C$ son los ángulos del triángulo que se dividen por los cevianos concurrentes en ángulos

α, A - α, β, B - β, γ, C - γ

$\alpha, A-\alpha, \beta, B-\beta, \gamma, C-\gamma$ en orden alrededor del triángulo.

La ecuación resultante de la forma

R pecado α = pecado (A - α)

$R\sin\alpha=\sin(A-\alpha)$ tiene la solución

broncearse α = \frac{pecado A}{R + porque A}

$\tan\alpha=\frac{\sin A}{R+\cos A}$ en tu problema

R = \frac{pecado 40^{\circ}}{pecado 10^{\circ}} . \frac{pecado 20^{\circ}}{pecado 60^{\circ}} = 1.4619022

$R=\frac{\sin40^{\circ}}{\sin10^{\circ}}.\frac{\sin20^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=1.4619022$

broncearse α = \frac{pecado 50^{\circ}}{1.4619022 + porque 50^{\circ}} = 0.36397

$\tan\alpha=\frac{\sin50^{\circ}}{1.4619022+\cos50^{\circ}}=0.36397$

α = 20^{\circ}

$\alpha=20^{\circ}$

∠ B D A = 180^{\circ} - 60^{\circ} - α = 100^{\circ}

$\angle BDA = 180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=100^{\circ}$

Problema de geometría en △ABC△ABC\triángulo ABC y seguimiento de ángulos

poder popular

poder popular

Respuestas (6)

rosa f

timon92

cuanto

grand_chat

poder popular

grand_chat

usuario

poder popular

usuario

poder popular

jerbo sammy

poder popular

Supongamos que ∠BAC=60∘∠BAC=60∘\ángulo BAC = 60^\circ y ∠ABC=20∘∠ABC=20∘\ángulo ABC = 20^\circ. Un punto EEE dentro de ABCABCABC satisface ∠EAB=20∘∠EAB=20∘\angle EAB=20^\circ y ∠ECB=30∘∠ECB=30∘\angle ECB=30^\circ.

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

△ABC△ABC\triángulo ABC con un punto DDD adentro tiene ∠BAD=114∘∠BAD=114∘\angle BAD=114^\circ, ∠DAC=6∘∠DAC=6∘\angle DAC=6^\circ , ∠ACD=12∘∠ACD=12∘\ángulo ACD=12^\circ, y ∠DCB=18∘∠DCB=18∘\ángulo DCB=18^\circ.

Centros de circuncircunferencia definen un triángulo equilátero

Una función para generar ternas pitagóricas

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

¿Cuál es el área del semicírculo verde?

Encuentra el ángulo dentro de un triángulo en términos de dos variables: α,βα,β\alpha,\beta

Maximizar un ángulo basado en ciertas restricciones

Triángulos de diferente tamaño; determinar la diferencia de altura