Acciones que no son integrales

Hasta ahora, cada acción que he visto en física ha sido una integral de un Lagrangiano, ya sea una partícula puntual:

S = ∫ d t   L

o campos (relativistas o no):

S = ∫ d 4 X   L

Etcétera. Los autores no suelen justificar esto (y no digo que deban hacerlo), así que me pregunto: ¿hay aplicaciones de acciones que no sean integrales de lagrangianos?

Por ejemplo, podríamos tener algo como S [ X ( t ) ] = sorber { X ˙ ( t ) 2 } , o variaciones del mismo tema (no he descubierto cómo encontrar los extremos). ¿O se puede escribir cualquier funcional como una integral?

Esta publicación (v1) parece una pregunta de lista.
@Qmechanic: ¿tiene alguna sugerencia sobre cómo podría reformular la pregunta? Podría preguntar algo como "¿son útiles estas acciones?", pero creo que es esencialmente la misma pregunta.
Creo que la forma de la acción en la teoría de campos es necesaria para que la MOE sea local.

Respuestas (2)

De hecho, uno puede considerar sumas discretas en lugar de integrales como la acción. Por ejemplo, se puede considerar una acción de la forma

S = ∑ i = 0 norte 1 2 ( ϕ i + 1 − ϕ i ) 2 + 1 2 ϕ i 2
con ϕ norte + 1 = ϕ 0 , ϕ i ∈ R .Esto dará una teoría de campo 1d en un círculo discreto. Por supuesto, se puede calcular la ecuación de movimiento, que será una relación recursiva en lugar de una ecuación diferencial.

La ventaja de tales modelos surge después de la cuantificación. Con una red discreta, la integral de trayectoria se convierte en una integral ordinaria aunque en un espacio vectorial de dimensión muy grande, y eso significa que uno puede estudiar la teoría numéricamente.

Por lo general, lo que nos interesa no es resolver el problema variacional en sí mismo. Simplemente queremos tener un objeto ordenado que nos permita derivar ecuaciones de movimiento, cantidades conservadas, etc. Este objeto es una integral de acción. La acción no dada por una integral generalmente no conducirá a ecuaciones diferenciales, por lo que simplemente no es interesante.

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