Problema de Basilea, pero con cosenos

Encontré una fórmula en un libro.

∑ norte = 1 ∞ ( porque ⁡ ( π norte s ) − porque ⁡ ( π norte s ′ ) ) 2 norte 2 = π 2 2 | s − s ′ |

pero ninguna explicación de dónde vino. Comprobé que es cierto numéricamente. Me preguntaba si esta serie tiene un nombre y dónde podría encontrar más información al respecto. Parece una variante del problema de Basilea, pero aparte de eso, no tengo ni idea. ¡Gracias!

Otra pista de solución posible (más o menos como lo sugiere @Simple Art): el LHS parece el cuadrado de cierto tipo de ℓ 2 (Hilbert) norma. Pero después...

Respuestas (1)

Al expandir el cuadrado, el numerador se reduce a

( porque ⁡ ( π norte s ) − porque ⁡ ( π norte s ′ ) ) 2 = porque 2 ⁡ ( π norte s ) + porque 2 ⁡ ( π norte s ′ ) − 2 porque ⁡ ( π norte s ) porque ⁡ ( π norte s ′ )

Usando identidades trigonométricas, esto se reduce aún más a

= 1 2 porque ⁡ ( 2 π norte s ) + 1 2 porque ⁡ ( 2 π norte s ′ ) + 1 − porque ⁡ ( π norte ( s + s ′ ) ) − porque ⁡ ( π norte ( s − s ′ ) )

Entonces podemos aplicar la función de Clausen para deducir que (consulte la fórmula 7)

∑ norte = 1 ∞ 1 2 porque ⁡ ( 2 π norte s ) + 1 2 porque ⁡ ( 2 π norte s ′ ) + 1 − porque ⁡ ( π norte ( s + s ′ ) ) − porque ⁡ ( π norte ( s − s ′ ) ) norte 2 = 1 2 C 2 ⁡ ( 2 π s ) + 1 2 C 2 ⁡ ( 2 π s ′ ) + π 2 6 − C 2 ⁡ ( π ( s + s ′ ) ) − C 2 ⁡ ( π ( s − s ′ ) ) = π 2 ( 1 12 − 1 2 s + 1 2 s 2 + 1 12 − 1 2 s ′ + 1 2 s ′ 2 + 1 6 − 1 6 + 1 2 ( s + s ′ ) − 1 4 ( s + s ′ ) 2 − 1 6 + 1 2 ( s − s ′ ) − 1 4 ( s − s ′ ) 2 ) = π 2 2 ( s − s ′ )

asumiendo que 0 ≤ s ≤ 1 y 0 ≤ s ′ ≤ 1 .

Gracias, nunca escuché sobre las funciones de Clausen y no sabía sobre el resultado C_2 en Eq. 7 tampoco. Todavía no está claro cómo Eq. Se obtiene 7, ¡pero al menos ahora tengo algunas palabras clave!
Respuesta sólida. (+1)
@AiridasKorolkovas Debería ser bastante sencillo como una serie de Fourier.
@ Dr.MV Demasiado agrupado aunque IMO
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