Hallar la suma de series infinitas

Normalmente, cuando intento varias formas de resolver un problema, tengo una idea de por dónde empezar y, finalmente, puedo resolverlo. Pero no ha sido el camino para esta pregunta y he estado atascado durante horas.

Estoy tratando de determinar la suma de la serie. ∑ norte = 1 ∞ 1 2 norte broncearse ⁡ ( X 2 norte ) ;

Sin embargo, esta no es una serie geométrica, una serie telescópica, y cuando traté de expandirla en la serie de Fourier en un intento de reducir algunos de los factores, tampoco funcionó.

Mi profesor pareció dar la pista: broncearse ⁡ ( X / 2 ) = cuna ⁡ ( X / 2 ) - 2 cuna ⁡ ( X ) ;

Sin embargo, esto tampoco me está ayudando realmente porque cuando sustituyo esta ecuación trigonométrica en la serie, me confundo más porque cuna ⁡ ( X / 2 norte ) es tan difícil de resolver como broncearse ⁡ ( X / 2 norte ) . Así que pensé que esto era una pista para ayudar a simplificar la suma después de haber hecho la mayor parte del trabajo.

Tampoco hemos tocado los números complejos, así que no creo que sea una solución a esto como he visto en otras preguntas.

Realmente agradecería una pista sobre dónde comenzar sin que alguien me diga completamente cómo resolver este problema.

Respuestas (2)

Usando la pista de tu profesor obtenemos

1 2 norte broncearse ⁡ ( X 2 norte ) = 1 2 norte cuna ⁡ ( X 2 norte ) − 1 2 norte − 1 cuna ⁡ ( X 2 norte − 1 ) = tu norte − tu norte − 1
y luego telescopio.

Para evaluar cualquier serie infinita, primero debe observar la suma parcial.

Usa la inducción y la identidad dada por tu profesor para probar que

∑ norte = 1 norte 1 2 norte broncearse ⁡ ( X 2 norte ) = 1 2 norte cuna ⁡ ( X 2 norte ) − cuna ⁡ ( X )

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