Dificultades con la notación bra-ket

La redacción utilizada en su libro de texto fue descuidada.

$A$actúa como$A^*$en un sostén, como$\langle u\rvert A\lvert v\rangle:=\langle u\lvert Av\rangle~$es lo mismo que$\langle u\rvert A\lvert v\rangle=\langle A^*u\lvert v\rangle~$, por definición del adjunto. Esta última fórmula también muestra que$\langle A^*u\rvert=\langle u\rvert A$.

Todo se vuelve muy simple en términos de álgebra lineal cuando se interpreta un ket como un vector de columna, el sujetador correspondiente como el vector de fila transpuesta conjugada, un operador como una matriz cuadrada y el adjunto como la transpuesta conjugada. Este es de hecho el caso especial cuando el espacio de Hilbert es$C^n$.

Realmente una buena pregunta (desafortunadamente, Ī llegó demasiado tarde para ayudar). Todo este material tiene perfectamente sentido matemático, pero sus fundamentos se basan en el álgebra abstracta y rara vez se explican a los estudiantes y, por lo tanto, permanecen ocultos para aquellos que carecen de la imaginación adecuada.

Para entender firmemente bra y ket, no solo multiplicar filas por columnas y recordar su regla de conjugación, es suficiente aprender dos cosas: (ciertas partes de) la dualidad en álgebra lineal , incluido el comportamiento de los operadores lineales , y el dual de un espacio de Hilbert . El hecho de no comprender cualquiera de las dos partes puede resultar en un caos mental en cualquier intento de comprender el significado de estos símbolos.

Vemos, el cartel original sabe lo que es el espacio vectorial dual. En este párrafo nos olvidamos por completo de una estructura de Hilbert; solo hay espacios vectoriales (más de ℂ) y mapas lineales. Si A  :  V ₁  →  V ₂ es un mapa lineal y v  :  V ₂  → ℂ es un funcional lineal (elemento de V ₂ *), entonces su composición  v  ∘  A mapea V ₁ a ℂ, y por lo tanto pertenece a V ₁ * . Esta composición, para cada A dado  , define un mapa lineal A ⁠* : V ₂ * → V₁ * que se llama “trasposición” de A ; esta cosa es tautológica y conserva la linealidad sobre ℂ. Mientras que la acción de A sobre V ₁ se denota por A  ∣  u  ⟩ en la notación de Dirac, la acción de A ⁠* sobre V ₂ * se denota por ⟨  v  ∣  A (nótese el orden de v y   A en la composición). No necesitamos distinguir A ⁠* de A , porque A siempre actúa desde la izquierda y A ⁠* siempre actúa desde la derecha.

Ahora la segunda parte: el dual continuo${\mathcal H}\text{*}$a un espacio de Hilbert$\mathcal H$es canónicamente isomorfo (es decir, la misma cosa) a su complejo conjugado $\overline{\mathcal H}$. Es un hecho matemático. Prácticamente por eso los espacios de Hilbert son tan convenientes, y tengo que explicar mejor qué significa “complejo conjugado” en este contexto. Un elemento ∣  u  ⟩ de$\mathcal H$, dicho un “vector ket”, y un elemento ⟨  u  ∣ de$\overline{\mathcal H}$, dijo un “vector sujetador”, son idénticos. Dos espacios están conectados por biyección, es decir, no difieren como conjuntos. Además, tienen leyes de suma idénticas: ⟨  u  ∣ + ⟨  v  ∣ corresponde a ∣  u  ⟩ + ∣  v  ⟩, la multiplicación por números reales r  ∈ ℝ : r  ⟨  u  ∣ corresponde a r  ∣  u  ⟩, y también el mismo vector norma. La única diferencia es la multiplicación por escalares complejos c  ∈ ℂ : c  ⟨  u  ∣ corresponde a$\overline{c} ∣ u ⟩$, donde overline significa conjugación compleja, no a “ c  ∣  u  ⟩”. Un estado puro de un sistema cuántico puede escribirse como ∣  ψ  ⟩ o ⟨  ψ  ∣; aunque como vectores complejos son diferentes, representan el mismo estado (tenga en cuenta que la multiplicación escalar de un vector de estado no cambia el estado físicamente). Vemos: bras y kets no son diferentes desde el punto de vista de la física, la teoría de conjuntos, la geometría métrica, la topología e incluso el álgebra lineal real . Toda la diferencia entre ellos son estructuras opuestas de multiplicación compleja (escalar).

Podemos ver cómo se combinan dos partes. Si$A: {\mathcal H}_1 → {\mathcal H}_2$, después$A\text{*}$mapea linealmente${\mathcal H}_2\text{*}$a${\mathcal H}_1\text{*}$y por lo tanto$\overline{{\mathcal H}_2}$a$\overline{{\mathcal H}_1}$, eso significa que tenemos un mapeo (no ℂ-lineal a priori ) de${\mathcal H}_2$a${\mathcal H}_1$. se denota por$A^†$y, de hecho, es complejo-lineal porque la estructura compleja se invierte dos veces: una vez desde${\mathcal H}_2$a${\mathcal H}_2\text{*} ≅ \overline{{\mathcal H}_2}$, y otro de${\mathcal H}_1\text{*} ≅ \overline{{\mathcal H}_1}$a${\mathcal H}_1$. O, en símbolos, una identidad

(Tenga en cuenta que en algún lugar "*" se usa en tales contextos para conjugaciones complejas, en lugar de sobrelínea, lo que ciertamente contribuye a una densa atmósfera de confusión en torno al símbolo de asterisco).

La operación “†” se llama “hermítica adjunta” para operadores lineales abstractos y “transpuesta conjugada” para matrices complejas. Es simplemente una consecuencia de la transposición de operadores (del álgebra lineal) y la${\mathcal H}\text{*} ≅ \overline{\mathcal H}$isomorfismo (de la teoría de los espacios de Hilbert), pero, si${\mathcal H}_2 = {\mathcal H}_1$, define una involución no trivial sobre operadores en espacios de Hilbert. Es un poco complicado, porque el operador de transposición es tautológico y el conjugado complejo no tiene sentido por sí solo, pero para los espacios de Hilbert juntos hacen una operación esencial. Las dos partes de álgebra antes mencionadas deben combinarse para obtener otro operador del mismo espacio de operadores .

si piensas en$\mid u \rangle$como vectores columna y de$\langle u \mid$como vectores fila, entonces$A$es solo un$n \times n$matriz (posiblemente con$n = \infty$).

A continuación, puede pensar en$A \mid u \rangle$como la matriz$A$actuando sobre un vector$u$. Sin embargo, desde$\langle v \mid$es un vector de fila y no de columna, no puede (para un vector de fila sensible) multiplicar$v$con$A$desde la izquierda pero solo desde la derecha:

Entonces se suele definir$\langle v A \mid$(o$\langle A v \mid$) como resultado de actuar sobre$v$con$A$. Si luego tomas el producto escalar con$\mid u \rangle$, podemos escribir:

para alguna matriz$B$tal que$u' = Bu$(desde la izquierda, ya que$\mid \rangle$son vectores columna). Además, se encuentra que la relación entre$A$y$B$es tal que

es decir, el adjunto hermitiano: esto tiene sentido: si deja que una matriz real actúe en una fila en lugar del vector de columna habitual, debe tomar su adjunto (es decir,$M_{ij}^T = M_{ji}$) y la magia de la mecánica cuántica simplemente agrega el complejo conjugado a este$A^\dagger_{ij} = \bar A_{ji}$

El segundo punto es muy similar:$( A \mid v \rangle)^\star$describe el elemento dual para$A \mid v \rangle$, que pasa a ser$\langle v A \mid = \langle v \mid A^\dagger$.

Como regla, desde el punto de vista de un físico, se agrega un$^\dagger$si sacas un operador de un sostén para luego hacerlo actuar sobre un ket. Por supuesto (para operadores sensibles),$(A^\dagger)^\dagger = A$.

Solo quiero hacer un comentario (requiere 50 reputación...)

Actuar desde la "izquierda" y desde la "derecha" en realidad tiene un significado preciso, cf. acción de grupo o módulos de izquierda/derecha. sin escribir ninguna fórmula, observe que tiene dos "multiplicaciones", una es la composición de operadores, una es la "acción". La distinción acción izquierda/derecha surge cuando tienes dos operadores actuando sobre un vector...