Problema con la energía cinética en marcos inerciales

(Previamente publiqué esto en https://math.stackexchange.com/questions/2165992/problem-with-kinetic-energy-in-inertial-frames y me han sugerido que lo pregunte aquí).

Supongamos que deslizo una pelota (en respuesta a un comentario ahora eliminado, es una pelota idealizada que no tiene fricción y, por lo tanto, se desliza en lugar de rodar, por lo que no hay energía de rotación) por el pasillo y subo una rampa al final. Si suelto la pelota con velocidad$v$adquiere energía cinética$T = (1/2) m v^2$y, por conservación de la energía. cuando llega a la rampa sube a una altura$h = T/mg = (1/2g)(v_{initial}^2 - v_{final}^2 )$dónde$v_{final} = 0$.Hasta ahora, todo bien.

Poniendo algunos números en esto, imparto una velocidad de$2 m/s$y$g = 9.81 m/s^2$. Entonces la pelota se elevará aproximadamente$h = 0.2m$en la rampa

Lo que no mencioné es que en realidad estoy haciendo esto en un tren (si los trenes eran lo suficientemente buenos para Einstein, entonces son lo suficientemente buenos para mí). Estoy deslizando la pelota hacia adelante y el tren se mueve a$20$EM. Así que ahora, cuando calculo el aumento, obtengo$h = (1/2g)(22^2 - 20^2 ) = 4.81m$. ¿Qué tan alto sube realmente la pelota?

Puedo ver que probablemente necesito impartir más energía a la pelota para acelerarla desde$20$a$22 m/s$que de$0$a$2$. Lo que me molesta es que esto parece contradecir la equivalencia de marcos inerciales , y las velocidades involucradas son difícilmente relativistas.

Como se señaló en la respuesta aprobada, el cálculo anterior ignora la conservación del impulso. Entonces, supón que el tren se está moviendo a$20 m/s$después de soltar la pelota (de lo contrario, hay una interacción a considerar cuando lanzo la pelota) y dejo que el tren tenga masa$M$.

Entonces la velocidad final de la bola y el tren está dada por$u=\dfrac{20M + 22 m}{M+m}$La ecuación de energía es ahora la energía potencial ganada por la pelota,$V =$energía cinética inicial - energía cinética final$= 1/2 (M20^2 + m22^2) - 1/2(Mu^2 + m u^2)$Si uno luego se afana en la aritmética (que tengo en papel pero no tengo la persistencia para escribir) uno termina con

$V = (m/2)(22 - 20)^2 M/(M+m)$

Entonces, se debe tener en cuenta que la situación "estacionaria" en realidad también necesita una ligera corrección por el impulso impartido al mundo a medida que la pelota sube por la pendiente. En ambos casos, la masa del mundo y del tren son muy grandes en comparación con la pelota, por lo que$M/(M+m) \to 1$y el PE ganado por el balón es el mismo en ambos casos$= m.2^2/2$

Un pensamiento final sobre esto es que cuando lanzo la pelota en primer lugar, la conservación del impulso determina una pequeña reducción en la velocidad del tren (o del mundo) y espero que un cálculo detallado muestre que la cantidad de energía que necesito para impartir sería el mismo en ambos casos.