En el espacio-tiempo estático, la curvatura extrínseca de la hipersuperficie t=constantet=constantet=constante es cero

Ref : Padmanabhan, Gravitation, Cambridge, pág.$531-534$

En el formalismo ADM, podemos escribir:

$ds^2=g_{mn}dx^mdx^n= -N^2dt^2+h_{\alpha\beta}(dx^\alpha+N^\alpha dt)(dx^\beta+N^\beta dt)$

$N$se llama la función de lapso, y$N^\alpha$se denominan funciones de desplazamiento. Aquí las letras latinas son para$4$-métricas, mientras que las letras griegas son para los inducidos$3$- métricas.

Podemos escribir el inducido$3-$métrica$h_{\alpha\beta}$, en una notación de cuatro dimensiones con$h_{mn} = g_{mn}+n_mn_n$, dónde$n (n_o=-N, n_\alpha=0)$es la normal a las hipersuperficies$t$= constante. Esto da$h_{oo}= N^\gamma N_\gamma$,$h_{0\alpha}= N_\alpha$,$h_{\alpha\beta} = g_{\alpha\beta}$

La curvatura extrínseca es$K_{mn}= -h^a_m\nabla_an_n = -(\nabla_mn_n+n^an_m\nabla_an_n)$, se puede demostrar que esta curvatura es simétrica en$m,n$. Para los componentes espaciales de la curvatura extrínseca, se obtiene, con algunos cálculos:

$K_{\alpha\beta}= -\nabla_\beta n_\alpha=\frac{1}{2N} (D_\beta N_\alpha + D_\alpha N_\beta-\partial_0 h_{\alpha\beta})$

dónde$D_mV_n= h^a_mh^b_n \nabla_a V_b$es la derivada covariante espacial de un vector$X$ortogonal a$n$($X$es tangencial a la hipersuperficie$t$=Constante)

En el caso del espacio-tiempo estático, tenemos$h_{\alpha\beta} = h_{\alpha\beta} (x^\gamma)$, y$N^\alpha=0$, entonces tenemos$K_{\alpha\beta}=0$. Los componentes$K_{oj}=0$también.

Mira las ecuaciones de ADM. Aplicarles la condición de estaticidad.

La unidad normal a las 3 superficies es proporcional al Killing field. Siendo el coeficiente la norma del archivado de Matanza. Puede calcular la derivada usando las ecuaciones de Killing un par de veces para obtener el resultado.